Файл: Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.07.2024
Просмотров: 169
Скачиваний: 1
Почленное деление ( I . 3 I ) , |
(1.30), |
(1.27) и (1.28) |
дает: |
||||||
|
|
" Г / С = Ї » |
, |
|
|
|
(1.32) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.33) |
Интегрируя, найдеи |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.34) |
где |
р. |
и С; |
- произвольные поотояннне. |
|
|||||
Для удобства можно положить |
С- =-J |
- Тогда выражения (1.34) |
|||||||
примут вид: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.35) |
( |
? н |
и P l t |
включены в |
и™ |
и |
U ' 4 |
) |
|
|
Почленно умножая (I.I4) |
на (I . 2I), |
получим |
|
||||||
|
|
|
\%-с[ |
. |
|
|
|
|
(1.36) |
Аналогичным способом почленно умножая (1.22) на (I . I8), |
|||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
(1-3?) |
С помощью формул (1.24) линейный элемент |
( I . I I ) |
можно напи |
|||||||
сать так: |
|
|
|
|
|
|
|
||
^<^Лъ*Я^ЛЛ^лА$. (і.з8)
Пользуясь формулами (1.24) и (1.25), формулы (І.ІЬ) и (І . І7) мокно написать в виде:
"Яі. і |
~Яа- |
(1.39, |
Есхи подставим (1.35), (1.23), (1.20) и (1.39) в формулы (1.6)
ж(1.7), то получим
,ui 11) ш
( 1 ' 4 0 )
t 1 t • 1 г • "St включены в Ц^0 ) Из элемента (1.38) имеем
Подставляя ( I . 4 I ) |
в тензор кривизны (1.67) и (1.68) второй |
|||
главы и пользуясь |
(1.36) |
и (1.37), мы получим следующую фор |
||
му линейного элемента |
|
|
|
|
d s 4 = d ^ d y 4 d i x > |
d s ^ d ^ M ^ d i * , |
|
||
d V = d k % t M e % |
fc*Si*4edV. |
(1.42) |
||
Итак мы получили общие условия (1.42) |
и (1.40), для которых |
|||
векторное уравнение Лапласа ( I . I ) допускает разделение |
пере |
|||
менных в декартовых, цилиндрических и сферических координа тах. Эти условия являются такке достаточными. Достаточность доказывается : шосредст'енной проверкой. Для векторного урав нения Даламбера (1.2) вопрос о разделении переменных рассма тривается аналогичным образом.
§ 2. РАЗДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ.
Решая аналогичным способом, рассмотренным в главах 1 - 4 , получим аледувдие решения уравнений ( I . I ) и (1.2). Решениями уравнений ( I . I ) и (1.2) в полярных координатах будут
(2.1)
U„ = Е Е В: «)C*i |
-\fa,-*)t |
где |
|
A l > = - Б 1 > = Г " 1 , < |
0 » = . |
- l e t: / 0*1 ftw ч
где ^ t<0 = *3»/s , 1а сч)-\°оо=*Ч/в ,
Решениями уравнений ( I . I ) и (1.2) в плоских декартовых коор динатах будут
оо |
1 |
Л?^Л |
( 2 . з ) |
U: - Е |
Е A ^ W ) ( a ^ K y |
|
|
2Э5 |
U= =ei e t £iА ? и » ) ( а ^ку + l ? U K y ) |
(2.4) |
|
^ fcro |
t=l |
|
где A I C K , * ) ' ^ |
, А г С * , * ^ е г , i = * , y |
, |
Решениями уравнений ( I . I ) и (1.2) в пространственных коорди натах будут:
где А ^ . Л е * , ^ . ^ -
ц-e |
ІХі: & K a . ^ 4 e-^cjj <vdl(j a, , |
( 2 ' 6 ) |
|||
|
|
- ^ V Y T * - t w V |
Р « в 1 |
J t ( V d |
|
Г Д Р |
В .. С*) = Є , О С«.-)= Є |
) |
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ренениями уравнений ( І . І ) и (1.2) в цилиндрических координатах будут:
(2.7)
где
№ - р % |
.I^)-P3I . £ & . p » p . |
и . ^ Ш ^ ^ - ч Х ^ - ^ ) .
P=o К«оj:i 0
где A 4 to - |
>A * W - ^ f , A,i«> = V AJ<2)=^P . |
Решениями уравнений ( I . I ) и (1.2) в сферических координатах будут
u t « t it А Г ^ С К П ^ Ч ^"u,*),
Чіт r C X ^ ^ i o r i ^ " - ^ -
где А^С-ог"*1 , А^-п*4 , А ^ ^ , H?*.fr.i)>C~,
U;M9 * » |
І - "i " f i l l |
л J |
Г де АГ=£(Л) , А Г 4 ^ ) , А Г = ^ ^ Л ,
§ 3 . П Р И М Е Р I .
Пусть дан шар радиуса а |
. На границе при г-а |
функцаа |
|
С и і . ) г - а = и " ^ |
і '«-^.«.Ч. |
Определим внутри шара вектор-гармошмескую функцию. Разложжм (3.1) в ряд такого видь
U* = £ £ Р Г ( ° 0 ^ ^ ^ ) ,
и; - it К ^ Г Ч ^ Р Г ) ^ * - Ч К Р Г ^ ^ Р Г ^ ,
заданы
(3.1)
( 3 *2 )
* |
во |
|
|
IT air |
* / » |
tb, "4 =C2 h ''i )(^-^-/2TrK(n *i-)fv,*m >i'. •
Решение (2.9) системы уравнений ( I . I ) в нашем случае имеет вид:
u e - Г £ \ [ Р Г ± « Г С - Й - Р Г С - Ъ Г W . |
".з) |
|
Изо Ы =0 |
[ — j_ |
|
где |
A t =Си -")г. , Аг |
=мг , |
|
|
|
|
С»1 |
п - 1 |
Сравнивая (3.3) при t = a с (3.2), получим систему 6 алгеб раических уравнений и решая ее мы найдем
І Г - ( f c - M / ^ o a - , C " % ^ ) / W - ' • (3 4)
Если подставим (3.4) в (3.3), то получим искомое решение зада чи, т.е. вектор-гармоническую функцию, удовлетворяющую вектор ному уравне^ш Лапласа и граничным условиям (3.1).
Аналогичным способом легко решаются следующие задачи:
I ) внешняя задача для шара, 2) задача для сферической оболочки,