Файл: Фрер Ф. Введение в электронную технику регулирования.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.07.2024

Просмотров: 132

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

точность при этом падает зачастую до недопустимой степени. Поэтому при расчете процессов регулирования используют в качестве независимой переменной не вре­ мя, а частоту. После решения «частотного» уравнения его результаты переводят вновь на язык «временных» уравнений или на основании стандартных приемов по­ лучают решение в виде функции времени.

Нижеследующие математические рассуждения нико­ им образом не претендуют на полноту. Авторы поста­ вили своей целью подчеркнуть лишь важнейшие матема­ тические зависимости и показать, в какой форме можно представить различные типы звеньев систем регулирова­ ния. Подробности можно найти в математической лите­ ратуре, список которой прилагается в конце книги.

5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

Как известно, комплексное число х состоит из вещест­ венной а и мнимой b частей; последняя умножается на мнимую единицу / = У — 1. Значению + / соответствует поворот в комплексной плоскости на я/2 против часовой стрелки, /2 — поворот на л в том же направлении, а —/ — поворот на jt/2 по часовой стрелке. Итак,

x=a+jb. (1) Изменив знак перед мнимой частью, получим:

Хі = а—jb

—число, комплексно сопряженное с исходным числом х Величину X, изображенную на комплексной плоско

сти (рис. 4), характеризуют модуль

r = \x\ = Ya? + b2

(2а

и направление, т. е. угол ср, отсчитываемый от положи тельной ветви вещественной оси:

<P = arctg—-

(2(

Следовательно,

a r cos ф и b = r sin ф,

t . Ѳ;

^ / • ( c o s c p + Z s i n c p ) .

Согласно формулам

Эйлера

cos ? = 4 ~ {е'ѵ +

'е~'ѵ)\ cos <р + / sin <р = eh;

sin ?=4f (е; ч > — е~!ч)', cos<p — /sin<p=e_ / , p

комплексное число может быть выражено в показатель­ ной форме через модуль и фазу:

x = reh.

(3)

Рис. 4. Представление ком-

Рис. 5. Представление

колеба-

ттлексного числа на ком-

тельного

процесса

на ком­

плексной плоскости.

плексной

плоскости.

 

• Если величина х должна выражать • колебательный процесс с постоянной частотой, то угол ср становится ли­ нейно зависящей от времени величиной

ср(/) =(ùt = 2nft.

х = Ае1Ы+ъ)=Ае^е^,

(4)

причем модуль А соответствует амплитуде колебаний. Рисунок 5 иллюстрирует представление колебатель­

ного процесса на комплексной плоскости. На временной развертке обычно изображают изменение во времени мнимой части х. Величина А в данном случае принята постоянной. Разумеется, амплитуда может также быть функцией времени, частоты или другого аргумента.

14

Представление колебательного процесса в комплекс­

ной

форме применительно,

например, к

переменному

току

і дает:

 

 

 

 

 

*(0 =

W

?

M .

(5)

Здесь / м а к с — амплитуда

тока, ш = 2л:/ — его угловая

частота.

 

 

 

 

6. ПРОЦЕССЫ ИЗМЕНЕНИЯ

НАПРЯЖЕНИЯ

 

НА ИНДУКТИВНОСТИ И ЕМКОСТИ

 

В общем случае на индуктивности L возникает на­

пряжение

 

 

 

 

 

u[t) =

L

^

- .

(6)

Принимая, что ток і, протекающий через индуктив­ ность, определяется выражением (5), получим:

u[(t)=^j<x>LIUUKCeH ,

или в комплексной форме записи, обычной для теории

переменных

токов,

 

 

 

 

 

Ù=

\mLL

 

(7)

Сравнивая

(6) и (7),

можно

убедиться,

что произ­

водная d/dt

во

«временной» форме записи

соответству­

ет символу

/<о «частотной»

формы

записи.

 

На емкости С, включенной в цепь с током, появляет­ ся напряжение

t

 

u(f) = - I - p (*)"<#.

(8)

о

 

Если ток определяется уравнением

(5), то

или в комплексной форме

Сравнение

(8)

и (9) убеждает в том, что интегралу

во «временном»

уравнении соответствует символ 1//©

в «частотном»

уравнении.

15

7. ИНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА

Рассмотрим звено, состоящее из последовательно вклю­ ченных резистора R и индуктивности L (рис. 6). Такое звено описывается дифференциальным уравнением 1-го порядка

„(0 = яі.(0 + ь - а ( г --

(10)

Решим уравнение (10) классическим способом. Для этого примем, что напряжение и в" момент времени / = 0 скачком изменяется от пуля до U (рис. 7,а). В этом слу-

0-

0 -

Рис. 6. Последователь­ ное соединение активно­ го и индуктивного со­ противлений.

Рис. 7. Формы напряже­ нии для инерционного звена 1-го порядка.

чае для тока существует установившееся значение, ко­ торого он достигает спустя длительное время после скачка напряжения и которому соответствует частное решение дифференциального уравнения

і'уст = U/R.

Это частное решение следует сложить с решением однородного уравнения, которое описывает неустановив­ шийся процесс; такое однородное уравнение

#u ep + L-^»??- = 0

имеет решение

16

причем к — —R/L. Отношение L/R называется постоян­ ной времени Т.

Таким образом, решение однородного уравнения при­ нимает вид:

t_

і— hp т

Сложим оба решения

и заметим,

что в момент

/ = 0

ток і, до этого равный

нулю, скачком измениться

не

может:

 

 

 

і (0) = г у с т

- j - i [ i e p = - ^

\-k.

 

Следовательно,

k =—U/R.

Этим определяется полное решение для данного слу­ чая. Падение напряжения на резисторе R

Ä i ( 0 = t / ( l - e ~ " 7 " ) .

 

 

(П)

Полученное уравнение представляет собой «времен­

ное» уравнение инерционного звена

1-го порядка, для

которого входным сигналом является скачок

напряже­

ния U, а выходным сигналом — реакция

звена

на этот

скачок — напряжение Ri (рис. 7,6).

 

 

 

Примем теперь, что напряжение

на

входе

цепочки,

изображенной на рис. 6 и описываемой дифференциалу

ным уравнением

(10), имеет

синусоидальный характер:

 

u*(t)

=I/M aitC sin &t,

причем частота

может

быть

произвольной. Если и* (t) =

= lm[u(t)], то согласно

(4)

 

В установившемся режиме в контуре протекает ток, имеющий также синусоидальную форму, но отстающий от напряжения на угол сдвига фаз ср:

' (0 = =

Iмакс*?

Подставив выражения для мгновенных значений то­ ка и напряжения в уравнение (10), получим:

DT

Jvt-W

TT „I W î1 1

"УоЛ-'/ЛвАЧ

o.fö/.::ove .а СГ с 'э

2-173

I

zitzzwfir.?1*

Фазовый

СДВІІГ ф между

падеі-імбм напряжения на ре­

зисторе R и

приложенным

напряжением

и характери­

зуется выражением 1/(1 +jaT). Величину

и знак угла <р

еще требуется

определить.

 

 

 

Представим

(12а)

в комплексной

форме:

 

 

Ri=ÙTTJ^T-

 

 

(12б>

Это соотношение

можно

получить

и

непосредствен­

но из уравнения напряжений

контура рис. 6, записанного

в комплексной

форме:

 

 

 

Ù^Ri + juLÎ.

Для того чтобы в правой части формулы (126) вы­ делить вещественную и мнимую части, умножим и раз­ делим ее комплексный член на сопряженное с ним число:

j

D _ ù

' - 1

1 — / ш Л

,-j f

1

г;г*п

шГ

\

п о ч

 

 

1 + / ш Г

1 — /со?

 

\ J + c o 2 7 ' 2

. М + ( о 3 7 ' г

 

 

 

Знак

«минус» перед

мнимой частью

означает,

что

с

возрастанием

частоты

фазовый угол изменяется

по

часовой

стрелке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

амплитуду £/М акс

питающего

и

напряжения

^ м а к с э і п

(ù-t поддерживать

неизменной

увеличивать

угловую

частоту

начиная

с нуля, то

можно

шаг

за

ша­

гом рассчитать соответствующие падения напряжения на резисторе R и нанести полученные результаты на ком­ плексную плоскость. Частота в этом случае будет слу­

жить

параметром

(рис. 8). Обычно пользуются норми­

рованной частотой

£i = (ùT=xu/®o, так что (13) приобре­

тает

вид:

 

Для постоянного тока

й = 0

и

IR — U; при

Q—»-оо

выражение

IR стремится

к нулю.

 

 

Кривая,

показанная

на

рис.

8,.

называется

годогра­

фом. Годографы можно строить для сопротивления, то­ ка, коэффициента передачи и т. п. Модуль величины или ее абсолютное значение для данной частоты выражают­ ся радиус-вектором, проведенным из начала координат

18

до соответствующей этой частоте точки годографа. Фазо­ вый угол величины выражается углом между радиусвектором и положительным направлением вещественной оси.

Согласно (2а) модуль падения напряжения на рези­ сторе

Рис. 8. Годограф выходной величины инер­ ционного звена 1-го порядка.

а фазовый угол согласно (26)

 

 

 

 

 

 

< p " = a r &c t g - ^ ^ L = a r c t g ( — ( 1 4 6

I

)

 

 

Re [/Я]

ь\

/

\

 

Для

случая, когда wT=l,

модуль

|/| R =

\Ù\]/2,

 

а

фазовый

угол <р =

45°.

 

 

 

 

 

При

шГ—>-оо

фазовый угол стремится к 90°, а мо­

дуль— к нулю.

 

 

 

 

 

 

Будем рассматривать изображенное

на рис. 6 соеди­

нение резистора и индуктивности как элементарное зве­ но в некоторой цепи, передающей и преобразующей сиг­ налы. Если считать, что это звено управляется входным

2*

19

Смотрите также файлы