Файл: Фрер Ф. Введение в электронную технику регулирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.07.2024
Просмотров: 158
Скачиваний: 1
Это уравнение описывает затухающий колебательный
процесс с |
относительной |
степенью |
затухания |
Ç и угло |
|||
вой частотой колебаний, |
равной |
|
— Ç2. После за ту. |
||||
хания колебаний, |
т. е. при t = |
oo, |
f(t) = |
l. |
|
||
При £ = 0 , как |
это следует |
из |
(30), |
имеет |
место ре |
||
жим незатухающих колебаний: |
|
|
|
||||
|
f (9=-Т7—==1 |
- c o s - у |
|
|
|||
Если коэффициент затухания меньше нуля, то коле |
|||||||
бания становятся |
нарастающими. |
|
|
|
|||
Случай |
£ = 1 . В этом |
случае |
|
|
|
||
|
|
К і = и 2 = |
— і - |
|
(31) |
||
и общее решение однородного уравнения имеет вид: |
|||||||
|
{ис)пеР = Ле |
|
-\rBte |
|
|
||
Полное решение для принятых начальных условий и частного решения (27), отнесенное к uBX(t) = U, дает вы ражение для переходной функции:
fW = * p . = i - L + L e - ^ |
(32) |
определяющее границу колебательного и апериодическо
го режимов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случай |
£ > 1 . В этом случае |
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
|
где |
|
TT |
= |
|
|
; ] |
|
|
к. = |
I |
где |
г |
/ , — |
|
г |
• |
f |
( 3 3 ) |
||
—•=-, |
|
|
. |
I |
|
||||||
|
2 |
72 |
rt |
|
2 |
|
ç + К?2 — l |
|
|
||
Решение |
однородного уравнения |
имеет |
вид: |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
l_ |
|
|
t_ |
|
|
|
|
|
(«с)пер = |
Ле |
|
Tl |
-{-Be |
Т' . |
|
|
|
|
Сложив это выражение с частным решением и учи тывая начальные условия, получим переходную функ цию вида
26
Выражение (34) является переходной функцией инер ционного звена 2-го порядка для апериодического ре жима.
Такой же результат может быть получен для двух инерционных звеньев 1-го порядка, соединенных после-
t
Рис. |
11. Последовательное соединение двух |
|
|
инерционных звеньев 1-го порядка. |
|
||
доватедьно без обратных связей |
(рис. 11). Если |
х в х — |
|
входная и хвых |
— выходная величины для этой цепочки, |
||
то можно записать для ее звеньев |
уравнения: |
|
|
|
|
|
(35) |
|
у(і) = х ъ а х {t)-\-T. |
dx™At) |
(36) |
|
|
dt |
|
Подставляя y(t) и ее производную в (35), получаем:
xsx {t) = л : в ы х (t) + |
(Г, + Т2) • |
dt |
|
|
|
|
|
d*xaII* (О |
|
|
|
|
|
+ TJ2 |
|
|
|
|
(37) |
|
|
dt* |
|
|
|
|
|
Используя соотношения |
(33), |
приводим |
уравнение |
|||
цепи к виду |
dxBmx (t) |
|
|
а*хсых |
(О |
|
|
|
•Г |
(38) |
|||
|
dt |
|
|
dt2 |
* |
|
Это уравнение тождественно исходному уравнению (24) для звена 2-го порядка с коэффициентом затуха ния
24- — 71, ь ь 1.
Следовательно, последовательное соединение двух (или более) инерционных звеньев 1-го порядка можег вести себя только как апериодическое звено.
27
Если теперь предположить, что на входе звена, по казанного на рис. 10, действует синусоидальное пере менное напряжение
u*(t) ='t/M a ncSin и/,
то можно вернуться к комплексной форме записи. Урав нение для приложенного напряжения, т. е. входной ве
личины |
^ D X ( / C Ü ) , |
имеет |
|
вид: |
|
|
|
|
X B x ( H |
= f> = |
(/? + / « ) L + 7 J r ) / . |
(39) |
|
Напряжение на емкости С, т. е. выходная величина |
||||||
•^вых(/**), определяется |
соотношением |
|
||||
Хвых |
(/со) = |
Ùc = |
-±^- / , откуда / = ju>CÙc. |
(40) |
||
Подставив это |
значение тока в (39), имеем: |
|
||||
|
|
О = |
[jwRC |
+ |
{ja)a LC + 1 ] Ùc. |
(41) |
Вводя |
в |
рассмотрение |
постоянную времени r = |
)/LC |
||
и коэффициент затухания |
£=1 у~"|/"-х~' получим: |
|
||||
|
|
Ù = |
[ 1 + |
/(D2Cr + (/to)s Г2 ] і>с . |
(42) |
|
Это есть не что иное,.как уравнение (24), так как символ ja соответствует символу дифференцирования d/dt или оператору Лапласа р. Из (42) легко теперь по лучить обычную передаточную функцию
И7/.Ч _UC(P) ' (A3)
W |
Ха (р) |
— U(p) — |
1 + |
pl-cj + jflT* |
Это общее выражение комплексной передаточной |
||||
функции справедливо |
при £ < 1 . |
Если же £ = 1 , то, оче |
||
видно, |
|
|
|
|
|
W(P)=(TVPW' |
|
(44) |
|
а для X, >> 1 с учетом |
соотношений |
(33) |
||
28
)Аз (44) и (45) вытекает, что при коэффициенте за
дания |
звено, показанное на рис. 10, эквивалент- |
последовательному соединению без обратных связей ух инерционных звеньев 1-го порядка, имеющих одиковые или различные постоянные времени.
Для построения годографа инерционного звена 2-го зрядка найдем из (42) отношение выходного напряже
на (Ус ко входному U, т. е. выходной величины Хъых ко кодной Х п х :
(46)
Выделяя вещественную и мнимую части, получаем:
|
|
Л'„ |
т . |
|
|
1 — си2 Г2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• ш 2 Г 2 ) 2 + соЧС2 Г2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
2аСТ |
|
|
|
|
|
|
— 1 (I — а*Гг)2 |
+ аЧК2Г2 ' |
^ |
||||
Это |
соотношение позволяет построить годограф систе |
||||||||
мы. Модуль радиус-вектора |
|
|
|
||||||
|
|
Х^х(іа)\ |
. / |
|
1 |
~~ |
|
||
h фазовый |
А"„х (ja) |
|
|
|
•ш2 7' 2 )2 - т -сй2 4С 2 Г 2 |
||||
угол |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ср = |
arctg"I |
— с»2 Г 2 |
|
(49) |
||
Для |
случая, |
когда |
£ < 1 / ] / 2 , можно дифференцирова |
||||||
нием выражения |
для |
модуля |
найти |
также |
резонансную |
||||
угловую |
частоту ш^: |
|
|
|
|
|
|
||
Тем самым для этой области, можно весьма просто нор |
|||||||||
мировать |
частоту, отнеся |
ее к резонансной: |
|||||||
|
|
|
|
|
Л |
'т. |
1 |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
Vi — 2'С- |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Хп |
0») |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
— (2S2 — О4) (1 |
-• 2Ç2 |
|
|
|
|
|
= |
arctg |
—22g )Л — 2Ç2 |
|
||
|
|
|
|
1 — Q2 |
(1 — 2Ç2 )' |
||||
vT
29