Файл: Фрер Ф. Введение в электронную технику регулирования.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.07.2024

Просмотров: 133

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

сигналом Хвх, которому соответствует реакция хВых, за висящая от свойств звена, то за входной сигнал здеси

очевидно, следует принять приложенное

напряжение

а за выходную величину — напряжение на

резистору

Примем также, что в установившемся режиме выходнаі величина л'В Ы х при помощи делителя или другого преоб разователя напряжения изменяет свою величину. В ЭТОІ

случае уравнения

(11),

(12а) и (126) следует умножит|

на коэффициент

такого

преобразования — коэффициені

пропорциональности К.

 

Примером такого звена также может служить ма шина постоянного тока при постоянной частоте враще­ ния и при условии, что работа ее происходит на линей ном участке характеристики. При наличии возбужденш э. д. с. машины пропорциональна напряжению на обмот ке возбуждения с некоторым коэффициентом пропор: ционалы-іости К. Переходный же процесс при изменений

напряжения

возбуждения

описывается

уравнениям])

инерционного звена 1-го порядка.

j

Согласно

(11) можно

в общем виде

записать еле-

дующее выражение для изменения во времени выходной

величины л'выч при

скачке

входной

величины

Хт:

 

 

 

 

t

 

f{t) =

^ ^ - =

K ^ \ ~

e

Т у

(151

Функция f(t) называется переходной функцией инер­ ционного звена 1-го порядка.

На основании уравнения (126) можно записать обоб­ щенное «частотное» уравнение

которое определяет частотную характеристику инерционного звена 1-го порядка. Далее будет показано, что при использовании частотных характеристик гораздо проще вести расчеты, чем при использовании функций вре­ мени.

Исследуем теперь зависимость свойств звена от ча­ стоты, рассматривая отдельно модуль и аргумент функ­ ции W(jQ).

Очевидно, что

| Ц 7 ( / 0 ) | ^

хгях №

1 + S J

 

Хм (/С)"

20

Логарифм этого отношения, умноженный на 20, обычно представляют как функцию логарифма частоты и измеряют в децибелах (дБ) :

\W (/0)|д Б = 20 ig К - 20 ig Vi + Ü\

При iQ 1 можно приближенно считать, что

\W(jQ)\Ab=*2Q\gK,

а при Q>-1 приблизительно

^ ( / 0 ) 1 ^ = 20 l g / С - 2 0 lg а

В логарифмическом масштабе оба последних урав­ нения соответствуют прямым, переходящим одна в дру­ гую при нормированной частоте Q = l (рис. 9,а). В этой

M

20 lg-К

о\

л

L

iffS?

а/

7

То

 

1<р

1

 

 

о/

1

îgS?_

О

1

 

1

10

 

 

-90е

S)

Рис. 9. Логарифмические амплитуд­ но-частотная (а) и фазочастотная (б) характеристики (диаграммы Боде) инерционного звена 1-го порядка.

точке приближение наиболее грубое; погрешность здесь

составляет 3

дБ.

Аргумент

функции W{jQ) определяется соотноше­

нием-

*

г . '

 

 

cp(/Q) = arctg( - Q),

21

Этот

аргумент,

будучи

изображенным

в функции

от lgQ,

является

второй

частью диаграммы Боде

(рис. 9,6).

 

 

 

Изображение свойств звеньев при помощи диаграмм

Боде служит базой

для анализа контуров

регулирова­

ния методом частотных характеристик.

Между переходной функцией и частотной характери­ стикой существует тесная связь.

Если считать переходную функцию

f(0=w(0/*Dx(0

множества t первичной, или оригиналом, и искать соот­

ветствующее

ей

изображение — вторичную функцию

множества /со,

то

следует применить преобразование

Лапласа, использующее комплексный

оператор p = à+ja>.

С помощью интеграла Лапласа

 

со

 

L\f(t)]-=\e-ptf{t)dt

(17)

о

 

получают переходную функцию множества /©, причем

таким образом, что выходная величина

Хъых(р)

равна

произведению комплексной

передаточной

функции

W(p)

и входной

величины

Хт(р).

 

xox(t)

Для переходной функции входной величиной

является

скачкообразная

функция, у

которой

^ B s = l

(единичный скачок). Преобразованная по Лапласу вход­ ная функция Хт(р) единичного скачка имеет вид:

со

о

Этот единичный скачок должен проявиться и при преобразовании переходной функции (15):

і_

е r^dt =

(18)

В результате преобразования получена комплексная передаточная функция W(p) (которую часто называют

22

комплексной частотной характеристикой) для инерцион­ ного звена 1-го порядка:

W(p)

Хтх ІР)

,__»

 

 

 

 

Х*х (Р)

b—'J

1+рТ

•

 

 

 

 

 

Эта функция для чисто мнимой величины /со уже из

вестна как частотная характеристика

 

 

*

 

W. Цф) =

К

і+]»Т

 

 

 

 

Входная величина Хшх(р),

 

умноженная

на комплекс­

ную-передаточную функцию

W(p),

может

быть

любой

функцией р; в частности,

она в

свою

очередь

может

являться выходной величиной предыдущего звена, имею­

щего

входную величину Х' в х (р)

и передаточную функ­

цию

W'{p):

 

 

XDX(p)=X'BX(P)W'

(/>)•

Сравнивая изложенное с результатами § 5, получаем соотношения:

(19)

справедливые, однако, лишь в том случае, если для функции f(t) все начальные значения являются нуле­ выми.

8. ИНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА

Если сравнительно просто описать поведение инерцион­ ного и других звеньев 1-го порядка, то для звена 2-го порядка это уже гораздо труднее. То же самое можно сказать и о двух включенных последовательно звеньях 1-го порядка.

Рассмотрим вначале звено, состоящее из цепочки RL и конденсатора С (рис. 10). Здесь входной величиной является питающее напряжение и, а выходной — напря-' жение на емкости С; иными словами, звено представля­ ет собой четырехполюсник, у которого входная и выход­

ная величины

имеют одинаковую физическую приро­

ду, — являются

напряжениями.

23

Дифференциальные уравнения звена имеют вид:

t

хвх

(t) = Ri (t) +

L

4 г - + 4 -

f ' W d t >

(20)

 

 

 

 

о

 

 

 

 

и

dt.

(21)

Отсюда

следует, что

 

 

 

 

duc (/)

 

 

 

i{t) =

C

 

(22)

 

~~dt

 

Подстановка /(/) в уравнение (20)

дает:

 

 

dur (t)

 

d'ur (i)

 

 

и (t) = RC — ^ L L + L C — è ^ - + " c (0.

(23)

Произведение LC имеет размерность квадрата вре­ мени, и его можно считать постоянной времени, возве-

1

 

~0

Рис.

10.

Четырехполюс­

 

 

ник

с

резистором и

 

tj

индуктивностью в про-

 

^

дольной

и с

емкостью

0 -

-0

в поперечной

ветвях.

 

 

 

 

денной в квадрат: LC = T2. Произведение RC, имеющее размерность времени, можно выразить через Т и неко­ торый коэффициент 2£: RC=QXJ. Отсюда

 

T =

VLC;

Z

^

-

y V -

 

 

 

 

 

Тогда (23)

перепишется

в

виде

 

 

 

 

 

u{t) =

uc(t)

„,

dur

 

(t)

+Г

dsur

 

(t)

(24)

+ KT

c

K

>

 

c

 

"

 

 

 

 

 

 

 

dt2

 

 

Определим теперь переходную функцию тем же. спо­ собом, что и для инерционного звена 1-го порядка. Пред­ положим, что на входе звена действует скачок сигнала •^вх) т. е.

0

при

і ! < 0 ;

(25)

U

при

г! =5=0.

 

24

Примем, что при ^ = 0

 

 

 

"с(°) =

сіиа

= 0.

(26)

dt

 

 

Ясно, что в установившемся режиме (при t—>-оо) на­ пряжение на емкости ис становится равным приложен­ ному напряжению U; это дает частное решение диффе­ ренциального уравнения:

 

 

(ис)уст='£Л

(27)

Однородное дифференциальное

уравнение

7

Г ^ 7

Й

-T-^cJnep—U

решается

подстановкой

(ис)аер

= е**. Характеристическое

уравнение

 

 

 

 

 

xz P+2Sx7"+l = 0

имеет корни

 

 

 

г ^ - / ^ " 1 ) ;

 

( С + І ^ П ) . (28)

Здесь возможны три случая: £ < 1 ; £ = 1 и £ > 1 .

Случай

£ < 1 . Выражения

(28)

можно переписать

в виде

 

 

 

 

x, = - ^ ( ç - / i / i - ç ? ) ;

(29)

т.е. в виде двух комплексно сопряженных корней. Тогда общим решением однородного дифференциаль­

ного уравнения будет:

("с)пер = е 4 < [A COS ( 4 - V1 - С* ) +

-j-ßsin

Полное решение уравнения с учетом начальных усло­ вий и частного решения (27), отнесенное ко входной ве­ личине U, дает переходную функцию звена при 0 < £ < 1 :

и

c o s ( 4 - ^ l - ^) +

 

(30)

?5

Смотрите также файлы