ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.07.2024
Просмотров: 115
Скачиваний: 0
Пі — число измерений в выборке; т\ — выборочная дисперсия;
М2 — общая дисперсия для всей совокупности измерений. Применение этого критерия является целесообразным при ана
лизе нескольких выборок измерений (более двух). Дисперсии /77: и М2 считаются одиородиьими, если '
(НО)
где %2 —критическая граница изменения величины В, выбирае
мая из специальных таблиц [24, 35] по заданному уров ню надежности <7 = 1 —р и числу степеней свободы
v = g—1 . Если g>30, то
р(В > 4 |
« 0 ,5 — Ф(г). |
(141) |
При этом |
|
|
х, = (1 |
+ Г |ѵ— Г |
(142) |
Критерий Бартлета основан на сравнении средних взвешенных эмпирических дисперсий т\. В частности, когда щ — п, получим
в = 2 Ж ё ( п - 1 ) fig M Z |
(143) |
с{
где с = I —{— g + |
1 |
зg (П- |
]) |
В том случае, когда объемы выборок одинаковы, т. е. /г,- = п, проверка гипотезы об однородности дисперсий может быть выпол нена упрощенным способом, при помощи критерия Кочрена [24]:
G — --------------------------- |
(144) |
«I + Щ + . . . + т2 |
|
»
где і — номер выборки.
Этот критерий используется для проверки значимости самой большой эмпирической дисперсии из данных g дисперсий, т. е. для проверки гипотезы о том, что случайная выборка, имеющая мак симальную оценку дисперсии |/п :|Шах, принадлежит к генераль
ной совокупности с большей дисперсией, чем та совокупность, из которой взяты остальные выборки.
Однородность дисперсий подтверждается, если |
|
G < G q, |
(145) |
где Gq—табличное значение критерия G.
125
Значение Gq выбирается из специальных таблиц по заданной надежности q—1 —р, числу g рядов измерений и объему п этих рядов.
Используя критерий Бартлета (138), проверим гипотезу о рав ноточное™ высотного положения оголовков колонн на различных этажах многоэтажного каркасного здания. В качестве измерен ных величин будем рассматривать разности отметок оголовков колонн, измеренных, например, на втором, пятом и седьмом этажах здания.
Для проверки гипотезы возьмем 27 измеренных разностей, по 9 измерений на каждом из указанных этажей. Пусть по резуль
татам измерений вычислены дисперсии т | =70,6 мм, т~ =75,4 мм и т% =22,1 мм, а общая дисперсия из 27 измерений равна /п = = 46,9 мм. Тогда при іѴ = 27, п2 = п5= п7=9 и g = 3 по формуле (143)
имеем |
|
|
V |
с = |
1 -і------— |
= 1,056; |
|
|
|
3-3-8 |
|
В __ 2^303 . з .8 |
/1,67025----- |
-4,07056^ = 16,41. |
|
1,056 |
V |
3 |
J |
При v = g —1=2 и |
q—1—0,95 = 0,05 из табл. IV [24] имеем |
||
х^=6,0. Так как В>х~, |
|
то есть основания полагать, что с увели |
|
чением этажности зданий точность высотного положения колонн существенно снижается.
В практике разбивочных работ весьма часто приходится сравни вать между собой средние значения из результатов измерений двух выборок, для того чтобы проверить различие в оценках х { и xj из-за влияния того или иного фактора производственных условий. Эта задача решается с помощью статистического 7-критерия [24].
Пусть имеется два ряда измерений случайной величины X. По формулам (123) и (124) вычисляются средние арифметические значения хі и Xj и средние квадратические ошибки т* = т j соот ветственно при Пі и а, рядов измерений с нормальным распреде лением. Равенство оценок дисперсий m?=m? проверяется с по
мощью критерия Фишера.
Задача заключается в статистической проверке гипотезы равен ства средних из генеральных совокупностей цг= Цз.
Если она подтверждается, то разность 8х ц = хі—х, имеет слу чайный характер; если нет, то эта разность является точечной оценкой систематической ошибки, выражаемой смещением центров группирования ц,- относительно щ, т. е. в форме разности
6р.із = р,г— Щ-
Две арифметические средние хі и х%сравниваются при помощи критерия
126
|
|
|
Xi—Xg |
^ 1 ,2 |
|
( 146) |
|
|
|
m (x’! — Xo) |
m (öx j |
9) |
|
|
|
|
|
|||
где m( 6 x1,2) — средняя |
квадратическая ошибка |
разности (ân—х2), |
||||
равная |
|
|
|
|
|
|
т (öxі,2) 1 |
{(nL— 1 ) /п2 (+) 4 - (п2 — 1 )тг(,ѵ2)) |
fl± —{—П о |
||||
піПо(пх+ По— 2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
(147) |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
t = |
Y («1 — |
6 л : ‘ .2 |
ж I f |
ПіПг (Ді + П- ~ 2) . (148) |
||
|
1) т2 (Хі) + |
(rig — I) trfi ( * 2) |
V |
, |
ni + n2 |
|
Эта статистика (оценка) распределена по закону Стьюдента [24]. Для нее можно построить с заданной доверительной вероят ностью критическую область
\ t \ > i P, |
(149) |
где гр выбирают из специальных таблиц [1, 24] по заданной дове рительной вероятности р и числу степеней свободы
|
|
V = пх+ тг2 — 2 . |
Если |
|^| |
будет больше табличного значения критерия tv, то это |
значит, |
что |
т. е. между результатами измерений по двум |
выборкам есть существенное различие.
Рассмотрим следующий пример с применением ^-критерия. Пусть в двух пролетах одноэтажного промышленного здания про изведены измерения расстояний между осями смонтированных под крановых путей. По результатам измерений с применением формул
(123) и (124) |
получено |
/і=21 502,10 мм, |
mt = 4,8 мм и |
12= |
|||
= 21 497,27 |
мм, |
т 2 = 3,8 мм |
при |
Пі=п2=22. Приняв |
вероятности, |
||
например, |
р = 0,95 и р = 0,99 при |
ѵ=22 + 22—2, |
по таблицам |
(24) |
|||
получим значения критерия ^0,95=2,024 и ^099=2,70. |
|
|
|||||
По формуле (148) имеем |
|
|
|
|
|
||
|
|
4,83 |
|
22−22 (22 + 22 — 2) |
3,69. |
|
|
|
/ 2 1 |
[(4 ,8 )= + (3,8)’-] |
22 + 22 |
|
|
|
|
127
Сопоставляя эмпирическое значение критерия 1^1= 3,69 с таб личными ^95=2,02 и /“0,99 = 2,70 с учетом (149), видим, что харак теристики 11 и І2 имеют существенное расхождение между собой.
При определении суммарных погрешностей по составляющим весьма важно знать, являются ли последние зависимыми или нет. Если между составляющими ошибками имеет место стохастиче ская зависимость, то суммарная ошибка изменит свое абсолют ное значение.
■Степень зависимости между двумя случайными величинами х и у выражается через коэффициент корреляции [1]
|
|
|
|
k (*, у) |
(150) |
|
|
|
|
Г { X , У) = |
|
|
|
|
|
а (х) а ( у ) |
|
где k (х, у) = |
— jr] б(х) б(у) — корperіяцноннын момент; |
||||
|
|
|
|
і = і |
|
а (х) = '\/ |
f 1 |
|
п |
б2(х) — стандарт ошибки величины х; |
|
— V |
|||||
V |
п |
|
~ |
1 |
|
о (у) — 1/ |
1 |
,г |
|
у. |
|
— |
у |
б2 (у) — то же, величины |
|||
I |
п |
Ы\ |
|
|
|
Для подтверждения реальности связи между х и у необхо димо оценить эмпирическое значение коэффициента корреляции ?(х, у), найденное по результатам измерения.
Надежную оценку близости г к г по данным измерений можно дать в том случае, когда распределение величин х и у прибли жается к нормальному распределению и между этими величинами имеется линейная зависимость. В этом случае для больших выбо рок (п>50) можно использовать для среднего квадратического отклонения Г от г [ 1] оценку
(151)
1 п
и считать, что г приближенно следует закону нормального распре деления с параметрами (г, а,).
Определив для уровня значимости q отклонения г от г, будем иметь следующий доверительный интервал:
r — t |
ч |
I —г- |
< г < г |
и ,--- |
( 1 5 2 ) |
|
ѵтг |
|
У п |
|
где tg — нормированная величина, зависящая от я и q.
128
В практике принято считать достаточным условие
— > 3 . |
(153) |
Если нижняя граница доверительного интервала для коэффи циента корреляции окажется мала, то по данной выборке нет еще оснований считать исследуемые величины в генеральной совокуп ности связанными корреляцией. При малом числе измерений эти оценки не совсем пригодны.
В этих случаях для оценки надежности коэффициента корреля
ции следует пользоваться |
специальной функцией |
[35] |
z = |
{ln(1 + г)—- ln(1 — г)| |
(154) |
или |
|
|
z = 1,151 [log(l - f r ) .- lo g ( l -/-)]. |
(155) |
|
Функция z, независимо от значения коэффициента корреля ции, подчиняется закону нормального распределения или близкому к нему. Вычисляется она по специальным таблицам.
Средняя квадратическая ошибка функции z определяется по формуле
(156)
у п — 3
Достоверность средней квадратической ошибки коэффициента корреляции молено определить с помощью критерия Каппа
К = — = г Ѵ { п — 3) |
(157) |
° z |
|
Достоверность функции p(k) табулируется через функцию Лап
ласа Ф(і) или
Вкачестве примера подвергнем корреляционному анализу из меренные значения смежных площадок опирания ферм на колонны Цф. Всего обработано 180 измерений.
Врезультате обработки было получено, что коэффициент кор реляции между ошибками в размерах смежных площадок опира ния ферм на колонны г(щ, а,) составляет — 0,25.
По вышеприведенным формулам оценим эмпирические коэффи циенты корреляции. Коэффициент г(аь а;і) определен по 180 изме рениям (п=180). Тогда из формулы (151) имеем
т{га) |
1 — 0,06 |
_ |
0,94 |
0,07. |
|
/ Ш |
_ |
13,4 |
|||
|
|
129
