Файл: Сытник В.С. Строительная геодезия.pdf

В результате выполненных теоретических расчетов [32] полу­ чено, что при заданных условиях вероятности оптимальный вариант

соотношения ошибок ог и а0 будет тогда, когда 0,3< — <0,4,

так как при этом ошибки геодезических построений не оказывают существенного влияния на точность выполнения проектного поло­ жения конструкций или значения замыкающего звена.

Таким образом, при нормировании требуемой точности геодези­ ческих построений необходимо учитывать особенности конструк­ тивных и объемно-планировочных решений зданий. Точность геоде­ зических построений при возведении зданий должна находиться в строгом соответствии с требуемой точностью положения и раз­ меров конструкций.

§ 23. Методы статистического анализа результатов геодезических измерений при разбивочных работах

В современных условиях строительно-монтажного производства, характеризующегося быстрыми темпами и сокращением сроков строительства, классические методы оценки точности измерений, оперирующие с большим объемом результатов измерений, оказы­ ваются недостаточными. В этих условиях первостепенное значение приобретает использование всей информации, содержащейся в ог­ раниченном числе измерений, для получения обоснованных резуль­ татов с одновременной оценкой их точности и достоверности полу­ ченных выводов. Эта задача может быть решена успешно па основе применения вероятностно-статистических методов оценки точности результатов измерений.

Следует заметить, что вероятностно-статистические методы не следует противопоставлять классическим методам, наобброт, ониявляются дополнением последних и позволяют глубже анализиро­ вать точность результатов измерений с учетом присущих им эле­ ментов случайности.

При оценке точности по ограниченному числу измерений целе­ сообразно использовать доверительные интервалы [24] или, как их еще называют, интервальные оценки.

В практике оценки точности результатов измерений, как пра­ вило, находят доверительные интервалы для среднего значения, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

К определению доверительных интервалов для математического ожидания и и стандарта ст ошибки измерения, относящихся к гене­ ральной совокупности измерений, можно приступить непосредст­ венно после вычисления х и т, которые находят по формулам

(123)

п

(124)

120

где хі — результаты измерений случайной величины Х\

Ѵі —вероятнейшие ошибки результатов измерений (o;= A'j—х); б; — истинные ошибки результатов измерений; п — число измерений.

Средние квадратические ошибки среднего арифметического и

Выбрав соответствующую доверительную вероятность, т. е. вероятность, с которой действительное значение параметра а или р. попадает в доверительный интервал, можно вычислить границы либо двустороннего, либо одностороннего доверительного интер­ вала.

Обозначив доверительную вероятность через р, получим выра­ жения для границ доверительного интервала математического ожи­ дания [24]:

односторонний интервал

где Zp, 2 і_р, Z[+p — границы критической области одностороннего

2 2

(128) и двустороннего (129) изменения вели­ чины р с вероятностью р.

Выбор величины доверительной вероятности р до некоторой степени произволен. В большинстве практических приложений математической статистики ориентируются на доверительную веро­ ятность 0,95. Для одностороннего и двустороннего доверительных

2

Пр и ме р . При разбийке пролетов пром.ышленного здания вы­ полнено Ю измерений. По результатам этих измерений найдено:

12)

I —12 001,1 мм; m = 2,2 мм. Применяя формулу (129) к этим ре­ зультатам, определим доверительный интервал для р при р =0,95:

Рассмотрим методику определения доверительных интервалов для дисперсии и стандарта ошибки при малой выборке. Распреде­ ление выборочной дисперсии описывается распределением %2 L35J. Величина

распределена как %2 с числом степеней свободы ѵ = п—1. Кривые плотности вероятностей этой величины асимметричны и степень асимметрии уменьшается с увеличением ѵ.

Двусторонний доверительный интервал для а2 с доверительной вероятностью р определится по формуле

Т, УІ

где — , —----коэффициенты надежности определения границ дове-

о»

где х і - р > і С \ + р — гРаницы критической области двустороннего огра-

~~

ничения изменения величины сг2 с вероятностью р. Верхняя граница одностороннего доверительного интервала для

дисперсии с доверительной вероятностью р имеет вид

Соответственно для средней квадратической ошибки имеем сле­ дующие выражения доверительных интервалов:

122

Рассмотрим пример по оценке точности результатов разбивки

Величины z и %2 или %приводятся почти во всех курсах по тео­ рии вероятностей и математической статистике. На наш взгляд, для практического применения целесообразно табулировать вели-

дания и стандарта ошибки.

Для обеспечения требований СНиП, ГОСТ, инструкций, указа­ ний и т. д. важно не только выявить действительную точность, но и определить влияние производственных и внешних факторов, вызывающих дополнительные погрешности. Эта задача может быть успешно решена на основе применения специальных вероятностно­ статистических критериев.

Выполнение анализа точности измерений путем только сопос­

тавления эмпирических предельных ошибок А с допусками СНиП не позволяет выявить степень влияния указанных факторов, что затрудняет решение проблемы точности в строительстве вообще и установление наиболее оптимальных и дифференцированных до­ пусков на выполнение геодезических разбивочных работ в част­ ности.

Рассмотрим некоторые статистические критерии.

Пусть имеются две независимые выборочные совокупности

средние значения которых равны соответственно х', х ". На осно­ вании этих совокупностей получим выборочные характеристики т\, ml дисперсий

123

для которых число степеней свободы соответственно равно Ѵх = Пх — 1 ; ѵ2 = п2— 1 .

Требуется выяснить, являются ли выборочные характеристики т2 и т\ существенно различными вследствие влияния факто­

ров или же данные выборочные совокупности можно рассматри­ вать как случайные из нормальных общих совокупностей, имеющих равные дисперсии пг2. Это можно проверить с помощью критерия Фишера F [35].

Критерий F, называемый дисперсионным отношением, представ­

причем т\ >т \.

Для дисперсионного отношения F при разном числе степеней свободы ѵі и Ѵ2 построены таблицы значений Fq, которые могут быть превзойдены соответственно с вероятностью q, равной 0,05;

ния критерия Fq при выбранном уровне значимости, то такое F может считаться случайным и расхождение между выборочными характеристиками т\ и т\ — несущественным.

При случайности расхождения между выборочными характери­ стиками т2 и т\ можно считать подтвержденной гипотезу о

том, что выборочные совокупности принадлежат одной и той же нормальной общей совокупности; если же расхождение между этими величинами существенно, то рассматриваемая гипотеза о влиянии производственных факторов должна быть отвергнута.

Если необходимо сопоставить выборочные характеристики дис­ персий из g выборочных совокупностей, то такое сравнение произ­ водится с помощью критерия Бартлета [35]:

где

т