Файл: Патрушев М.А. Проветривание высокомеханизированных лав.pdf

Описание движения воздуха по выемочному участку

Рассмотрим установившееся движение воздуха, ха­ рактеризуемое в выработанном пространстве скоростью

v = (vlt v 2), Vi = Vi(xu у); i = 1,2,

а в очистном забое и в дополнительной выработке ско­ ростями

где А 1, А2— константы, обратно пропорциональные по­ перечным сечениям забоя и штрека.

Уравнение линии тока в обрушенном пространстве имеет вид

d x _ v t

(42)

dy ~ ~v2'

но поскольку источников и стоков там не имеется, то

Условие (43) означает, что уравнение линии тока

v 2dx — vydy — 0

74

является уравнением в полных дифференциалах, т. е. существует функция F=F(x,y), называемая функцией тока, такая, что

Для определенности будем считать, что

Эта функция позволяет зашисать интегралы уравне­ ний (41) с начальными условиями (40) в виде

■ При записи формулы для w2 учтено, что F(x, (/)= 0 на линии, ограничивающей вместе с осями координат часть обрушенного пространства, где сосредоточены основные массы воздуха. Пусть далее давление воздуха описыва­ ется непрерывно дифференцируемой функцией Р=Р(х,у), причем -в забое и в штреке движение воздуха подчиняется квадратичному закону

а в обрушенном пространстве — закону Дарси. Согласно этому закону скорость v направлена в сторону, противо­ положную градиенту давления:

X/P = — k2v

или, согласно уравнению (44),

Причем коэффициент пропорциональности k2 харак­ теризует проницаемость пористой среды выработанного пространства и задается обычно какой-либо эмпириче­ ской формулой. Одна такая формула будет приведена Далее.

Пара функций Р и F (потенциал и функция тока) со­ гласно системе (48) дает квазиконформное отображе­ ние плоскости. Исключая из систем.ы (48) Р, получим Для F линейное эллиптическое уравнение

75

(49)

с переменными коэффициентами и краевыми условиями

непроницаемости). С таким же успехом условие непро­ ницаемости можно было бы задать на любой другой кри­ вой, соединяющей точки а и ft на осях у их. Например,

ника) или даже на лучах х >12, у = 0 и у > / и х=0 (крае­ вая задача для четвертьплоскости). Наконец, можно бы­ ло бы решать задачу (49) — (51) методами теории потен­ циала, вовсе не закладывая условия (52). Для решения задачи (49) — (51) используем начальное приближение

(52).

Будем искать функцию тока F(x,y) в виде

76

простой вид. Отметим, что чаще всего k берется не за­

где а, /е0 — некоторые эмпирические характеристики об-

'рушенного пространства. В этом случае уравнение (55) сводится к уравнению с постоянными коэффициентами

Ди - а.'2и = 0.

Этому же уравнению удовлетворяет, естественно, и сама функция k. Еще проще взять в качестве k гармони­ ческую функцию, например,

При этом функция и (х, у) тоже оказывается гармо­ нической и мы ее должны выбрать так, чтобы удовлет­ ворить смешанным нелинейным краевым условиям (56) —(58). Точное решение возникшей задачи вряд ли возможно и независимо от того, решать ее итерацион­ ными методами или линеаризировать в окрестности не­ которого решения. В любом случае необходимо хоро­ шее начальное приближение Uq(х, у).

Рассмотрим математически наиболее интересный случай, когда скорости оц и до2 направлены к началу ко­ ординат (рис. 30). В этом случае потоки воздуха из штрека и очистного забоя движутся навстречу друг дру­ гу в обрушенном пространстве, искривляются, затем, разделенные сепаратрисой, на которой также F = 0, вы­ носятся в выработку или в лаву. Практическая целесо­ образность рассмотрения этого случая не подлежит сом­ нению.

Поскольку линии тока описываются F ^co n st или u0=k- const, причем заведомо непрямолинейны, то функ-

77

цию и0 (х, у) линейной взять нельзя. Вудем искать ее в виде гармонического полинома второй степени

токов воздуха, входящих в обрушенное пространство из штрека и из очистного забоя). Точка пересечения этих прямых должна лежать в первом квадранте, так что

(66)

Остается в каком-либо смысле удовлетворить усло­ вия (56) и (57). Точно удовлетворить этим условиям нельзя, поскольку они в подробной записи означают ра­ венство нулю двух полиномов четвертой степени, тогда как у нас в распоряжении всего лишь два свободных па­ раметра с и /. Проще всего удовлетворить эти условия в каких-либо двух характерных точках. В качестве таких

78

Ш. также формулы ( 5 3 ) , ( 5 8 ) и ( 6 5 ) , или точки пересе­ чения линии тока «о (х, i/) = 0 с осями координат. Ана­

Отсюда с и / легко находятся

. Д.тУ8 + Д»та1Л(1+«/^)~ 1.

W +

(69)

Причем, условия (66) удовлетворяются, что легко проверить. Таким образом начальное приближение ио (х, у) в заданном треугольнике аов полностью опреде­ лено уравнением

F0[x, у )= и 0 [х, у ) : &0(1+аОс), а значит и для скоростей w i{y)> w2(x) и v(x, у) в очистном забое, штреке и обру­ шенном пространстве. На основе этих формул можно по­ лучить в явном виде выражение для расхода воздуха че­ рез обрушенное пространство, не прибегая к громоздким

.79