Файл: Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.07.2024
Просмотров: 120
Скачиваний: 0
Если ряд Фурье определяется в комплексной форме: |
t |
комплексные коэффициенты Ск |
находятся по формуле: |
Учитывая различные виды симметрии периодического |
сигнала, |
|||||
формулу |
(1.5) |
можно представить в несколько^ином |
виде. Напри |
|||
мер, для функций |
x(ty |
, имеющих симметрию Ш рода, |
т . е . |
|||
для периодических функций, удовлетворяющих условию: |
|
|||||
ccft-t^-^ = ~~^cCQ ' в к а ч е с т в е образущей |
можно |
рассматри |
||||
вать функцию DC {fy , совпадающую с ос(на |
половине |
|||||
периода |
У |
- |
Тогда |
|
|
|
Функция XqC/KQ), будет отлична от нуля только при не
четных значениях |
к |
' |
К = |
I, |
3, 5, . . . |
|
||
Таким образом, для разложения периодической функции в |
||||||||
ряд Фурье ( І . І ) |
достаточно |
лишь |
получить изображение./}^/?). |
|||||
Если для функции 2С0 (е^ |
можно |
составить |
аналитическое вы |
|||||
ражение, определение jCQCp) |
производится |
непосредственно |
||||||
по таблицам |
преобразования |
Лапласа |
]f63 8 ] |
- В общем случае, |
||||
особеннопри |
задании |
DC0(ty |
|
графически, |
для нахождения |
|||
изображения функцию |
DC0 (О |
достаточно |
представить в виде |
|||||
совокупности |
функций |
DC. Cfy |
|
> заданных |
на интервале |
|||
\0,оо~\ |
, для которых всегда |
можно найти |
изображение. Об |
|||||
щим приемом здесь может быть использование соотношения, |
уста |
|||||||
навливаемого |
между функцией J(ty |
и ее |
отрезком j^Cty |
» |
||||
определенным |
на |
интервале |
[О^Ѵ] |
.(рис. |
1.2): |
|
||
|
|
|
которому |
в области изображений |
||||
|
|
|
соответствует |
равенство: |
|
|||
|
Рис. |
1.2, |
|
|
|
|
|
8) |
Обычно на основании леммы Жордана |
т |
] бесконечная прямая |
||||||
[ і б |
||||||||
интегрирования в |
выражении |
(1.8) |
может |
быть |
без изменения |
|||
значения интеграла дополнена полуокружностью |
бесконечного |
|||||||
радиуса в левой полуплоскости. Поэтому решение интеграла мо жет быть проведено с помощью теоремы вычетов и не вызывает затруднений.
При отыскании изображения JC0(p) с успехом могут быть использованы такие теоремы преобразования Лапласа, как
теорема о линейности, о дифференцировании оригинала, о смеще нии оригинала по аргументу и т . д . В частности, изображение XjCß) может быть найдено, если известно изображение смещен ной функции х({+Т} [ / 9 ] . В этом случае имеем: •
Наконец, изображение DC CjÔ) может быть |
непосредственно вы |
писано из таблиц преобразования Лапласа \ßß |
Л . |
10 |
|
После определения JCQ(/S) |
коэффициенты Фурье |
ак и |
||||||
находятся непосредственно по соотношению (1.5). |
|
|
||||||
Пример І . І . Рассмотрим |
разложение в ряд Фурье |
периоди |
||||||
ческой |
функции |
oc(t^) |
, график которой показан |
на рис.І.З. |
||||
l ^ |
^ |
|
|
|
|
Выражение для образующей |
||
|
|
|
|
|
|
функции SC0 (f) |
|
можно |
|
/ \ |
/ |
\ |
|
|
представить в виде |
суммы |
|
' |
\ |
/ |
\ |
/ |
|
смещенных линейных |
функ- |
|
0 |
т |
2Т |
|
t |
ц и й : |
X//>p-^Û-f) |
||
|
|
Рис. |
1.3. |
|
|
|
||
Найдем |
изображение |
jCa(p) |
: |
|
|
|
||
Применяя соотношение (1.5), получим:
Р'
Отсюда следует, что все гармоники с четными номерами К от сутствуют, т . к . в ноль обращается числитель выражения. Для нечетных гармоник имеем:
п |
./ |
_ AR |
_Л |
^ |
|
Поэтому |
6 - 0 |
и |
Ci - - ~ т ^ г |
I |
/С = I , 3 j 5 , . . . |
Раскрывая неопределенность для К - 0, |
получим: Ctgs п |
||||
Следовательно,
s £ _ ûâVcosné + 1 cossat + J- cos snt +
Пример' 1.2. |
Пусть X(fy |
имеет форму, |
показанную на |
рис. 1.4 , причем |
3c(Q=tft2' |
при |
t^T |
Используя выражение {1 . 8), получим :
МР>40-
|
Г |
|
2Г |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
1.4. |
|
-10 |
|
|
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
для |
к403 л?.е |
|
а - Л£- |
• |
А - |
^ |
т |
|
|
|
|
|
Раскрывая |
неопределенность в |
jC0 СрУ |
при р - |
О |
|
|
|||
получим |
|
а0 |
= ІДТ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 1.3. |
График периодической |
функции х(і~) |
пока |
||||||
зан на рис. 1.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
Зг^У) |
|
имеет |
|
т |
|
|
|
|
симметрию Ш рода, |
поэ |
||
|
|
|
|
|
тому воспользуемся |
фор |
|||
|
г |
|
|
|
|
мулой t (1.7). Так как |
|||
•в |
Рис. 1.5. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
найдем JC (р) |
=Д |
—~~—' |
и, |
следовательно, |
|
|
|||
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ . 4£ |
|
і_ |
К = 0,1,2,. |
|||
12 |
|
|
J |
ZT |
2К+ / |
||||
|
|
|
|
|
|||||
