Файл: Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 13.07.2024

Просмотров: 117

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

днческюс функций: . При задан­ ных конкретно функциях он может быть решен в замкнутой форме. Если рассматриваются установившиеся движения системы, полюсы Іл/^у) не должны учитываться при решении. Способы решения таких интегралов рассматривались в § 1.3. В данном случае, учитывая синхронную работу модулятора и демодулятора, часто­ ты изменения функций /Г ^О и Кг (і^) равны.

Переходя к изображениям образующих, запишем внутренний интеграл в виде:

Интеграл Зф^^) может быть решен в левой или правой полуплоскости. Выбор той или иной полуплоскости полностью зависит от формы Kf (t) и Kz 60 • Напомним, что если хотя бы одна из функций имеет изображение образующей, которое представляется в виде:

т . е . если хотя бы одна

из функций является гладкой на периоде,

. решение целесообразно

вести по полюсам другой функции. В этом

случае, вводя вспомогательный интеграл, можно получить резуль­ тат для Уф_,Л) в замкнутой форме, решая его по полюсам функций Ко1 (р)

'Различные варианты решений обсуждались в § 1.3. Поэтому, учитывая введенные там ограничения, можно утверждать, что для функций, используемых на практике в качестве несущей и опор­ ной , решение может быть получено в с е г д а . . . *

175

Перейдем непосредственно к рассмотрению примеров, чтобы конкретно определить возможности эквивалентного структурного

преобразования системы, показанной

на рис. 4.7. Остановимся

 

вначале на широко известном случае,

когда К (/)- ^і/7&^

,

В этом случае

 

 

Подставляя изображения образующих в (4.25), получим:

J p-jx

Решая yfpjX) хотя бы в левой полуплоскости, получим:

Для дальнейших преобразований введем обозначения:

Тогда

j/o І\ - t J & 'АЯФ-Ъ S*"<P& <bif-jSiSif><Pj[<}0'$>*jêS

J21

Cp-*)[(p-xf+4tf]

 

_ (#_ +jjS)[(p-£) totf+Sl

CoS</> *JS2SÙ7(fiJl(p-X) -J2Q.J 1

Целью преобразований

полученного выражения является

выделение

в нем функций аргументов

Л

либо (р-^) • , чтобы свести фор­

мулу„(4.24) к свертке. Выделяя

в выражении для30,2)

вещест-

язднув и мнимую часть

и складывая оба слагаемых, после некото-

176

 

 

 

 

рых преобразований получим:

где

ß(p.j\

- 2Qftp-$Stn?+Q cosçpj- яф-л) sin cp

У

(4.28)

Выражения.^Д-<Р) V'ft-X)7 и j£ffy+X)

yfc+*0J

есть функции агрумента

X

. Поэтому на основании

формул

(4.27)

и (4.28) ОЧС исходной

системы может быть

заменена

эк­

вивалентным структурным

представлением (рис. 4.

8).

 

 

ê(t)

AWD) X

Рис. 4.8.

На рис. 4.8 введены следующие, обозначения:

Wj(p) и VSjjCp) - передаточные функции эквивалентных дина­ мических цепей

ЦФ) "jriHtp+j^

- КО*-]*)}л

 

( 4 . 2 9 ) .

 

 

 

 

Ц,Ф) = { {

+

^ф-уа)] .

 

 

Эквивалентные

периодические коэффициенты

К7(і)

и ^('0

есть оригиналы соответственно функций

ъ ,ô(fi)

. Чтобы

12 Зак. 161р.

 

 

 

177

определить форму Kj(t) и Лі fé~) , достаточно найти коэффициенты Фурье разложения их в ряд. Выполнив эту опера­ цию над изображениями Afp) и &(р) , получим:

K-Jt)=lco^-

^cos(Snt*$.

( 4 ' 3 0 )

Таким образом, эквивалентная схема представляет собой параллельное соединение двух периодических коэффициентов, от­ личающихся своими законами (в данном случае количественно) от заданных несущего и опорного сигналов. Если ОЧС системы без­ ынерционна, т . е . 1^Ср)= і , то из формулы (4.27) с учетом (4.30) получим:

Следовательно, безынерционная ОЧС приводится к одному перио­

дическому коэффициенту

K^(t)

, закон изменения которого

•определяется следующим образом:

K9ft)

-

 

Этот вывод является совершенно очевидным.-

 

Схема, показанная

на рис. 4.8, не является

единственной

эквивалентной схемой ОЧС. Если решение

интеграла

(4.26) вы­

полнить в правой полуплоскости,

получим:

 

- ejfk(ф*/&>

/- --;r

7 (4.31)

л

••'D-AYO-À* ••2*î)

178

Обо значив W/p-jà) =flp_-+j Угп_ ; Ц(р ул ) = Рв^ -f-j^ •после преобразований получим выражение для УСр,Х^ в виде:

J(p,i) ~jL[(pe_-R^+j(Jm_-Jmt)]C(p->). -

- jL[(Jm_+Jm^-j(te+f?Q^]l)(p-£) , (4.32)

где

С ( Р } = ' (Р-ЪГ(Р-^+^]~

Л

По изображениям

G(p)

и

2)ф)

можно найти коэффициен­

ты Фурье оригиналов

и таким образом определить эквивалентные

периодические коэффициенты,

замещающие ОЧС. Так как функции

h£/p-/&)

н ѳ зависят от Л

и могут быть вынесены за знак

интеграла

(4.25), эквивалентная

схема ОЧС принимает следующий

вид (рис

4.9)

 

 

 

 

1

4M

Рис. 4.9,

На рис, 4.9 введены обозначения:

K/}(t) =£f{D(p)] = posef - ^софаЫф^

12*

179

 

Щ. (р) и Wt- Ср)

- передаточные функции эквивалентных

динамических цепей:

 

Цу Cj-si) - - j { д / (p'f4) / w(p-jsî)j ,

( 4 , 3 3

Если, как принято обычно, считать, что гармоники часто­ ты PQ и выше пренебрежимо малы в замкнутом контуре, схемы рис. 4.8 и 4.9 приводятся к одинаковой стационарной цепи, передающие свойства которой характеризуются следущей пере­ даточной функцией:

+]^{Ц(р<;^-У/Р'/я)]*спу,

 

( 4 , 3 4 )

Таким образом, особая часть системы

с амплитудной

моду­

ляцией в данном случае эквивалентна двум

параллельным

ветвям

с периодическими коэффициентами передачи,

в состав которых

входят динамические цепи, свойства которых определяются фор­ мулами (4.29) или (4.33). Наличие двух параллельных ветвей затрудняет исследование, однако не приводит к принципиальным

особенностям.

Поэтому далее

можно решить задачу собственных

и вынужденных

периодических

движений системы. Следует заме­

тить , что в проведенных рассуждениях форма процесса не ого­ варивалась. Поэтому полученные эквивалентные схемы могут быть(использованы для изучения процессов системы при воздей­ ствии произвольных сигналов.

Рассмотрим методику эквивалентного преобразования ОЧС

системы, если в ней применяются модулятор и демодулятор ком160

мутаторного типа. Если считать, что в системе осуществляется синфазная демодуляция, формы несущего и опорного сигналов сов­

падают

во времени,

т . е .

^ ft) =

- К ft).

График

сигнала К

ft)

показан на рис. 4.10.„Изображение сиг-

вела К ft) имеет

вид:

i t

—nj

К (р) = -рг

^"^Рг

 

 

 

По существу проведенных рас­

 

I

г

суждений

преобразование цепи

 

сводится к решению интеграла

г* — Р _

•1 (4.25), который в данном слу­

чае приводится к виду:

Рис. 4.10.

Поскольку выбор полуплоскости не принципиален, решим J(pt^), замыкая прямую интегрирования в левой полуплоскости. Решение в левой полуплоскости удобнее тем, что там сразу вы­ деляется составляющая, характеризующая вынужденное движение системы, если при интегрировании не учитывать полюсов пере­ даточной функции. Определяя вычеты в полюсах = 2 -J^(s^i)> получим значение Уф,^) в виде:

 

f 1-е

 

(4.35)

 

0,5

Т

f-e

р-мк

 

 

 

 

 

Введем в рассмотрение, как это делалось в главе I , вспо­ могательный интеграл:

р-у •С/У

Смотрите также файлы