Файл: Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.07.2024
Просмотров: 118
Скачиваний: 0
Поэтому
ОС (О = ~ СSenn t + ^ jinâQ t + £ Sin 5Я. t Л .
§ 1.2. Преобразование периодического сигнала линейной стационарной цепью
Под линейной стационарной цепью будем понимать такую ди намическую цепь, поведение которой описывается линейным диф ференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Олисание такой цепи может быть выполнено также с помощью пере
даточной функции. |
|
, Пусть периодический сигнал x(é") |
произвольной формы |
воздействует на динамическую цепь, характеризуемую передаточ
ной функцией |
WCp) |
(рис. |
1.6). Будем считать, что |
Wfp) |
||||
|
|
|
|
|
не |
имеет полюсов на мни- |
||
Х(р) |
I |
— I "Y(p) |
|
м о й |
о с и и в |
прев0 0 |
полу- |
|
|
' WV/O) |
|
|
плоскости, т . е . анализи |
||||
|
|
|
|
|
руемая' цепь |
является |
||
|
|
Рис. 1.6, |
|
устойчивой. Задача |
иссле |
|||
дования заключается в определении изменений формы сигнала |
||||||||
Х$) |
ЩРи прохождении через цепь |
, т . е . в расчете |
||||||
установившейся |
реакции |
уС^) |
цепи. Изображение реакции |
|||||
~Y(p) |
можно сразу получить в |
виде: |
|
|
|
|||
/ — @
Вынужденное движение цепи под действием |
сигнала х{?0 |
о п ~ |
ределяется полюсами изображения л Ср) |
, которые сосредо- |
|
|
|
13 |
точены |
в множителе |
= |
. Поэтому' произведение |
|
||||||
V/^ÙXjjÙ можно рассматривать |
как изображение образующей |
|
||||||||
функции |
~Y^(p) |
периодического |
сигнала ytty |
• Следователь |
||||||
но! можно немедленно получить разложение в ряд Фурье сигна |
|
|||||||||
ла уС^) |
|
• е |
с л и |
воспользоваться |
соотношением (1.5): |
|
||||
и({) |
= |
Цг |
+ |
|
|
+ 6к ШпкПІ^ |
(І.ІО) |
|
||
a*-jb**2cK'£w(/xtyX//xà) |
|
> |
|
1.2.3.... |
|
|||||
Если входной |
сигнал имеет симметрию Ш рода, |
т . е . |
x(ê + |
- |
||||||
= -SC |
ft) |
, |
коэффициенты Фурьіе для |
разложения |
в ряд реакции |
|
||||
yfl^ |
можно получить с помощью соотношения |
(1.6): |
|
|||||||
0K'jbK |
= фЩ-К^)Х0С/^ |
|
. |
К = 1 , 3 , 5 , . . . |
||||
Формулы |
(1.10) и ( I . I I ) |
являются вариантами |
обычного |
|
||||
соотношения^ |
• связывающими |
спектры |
входного |
и выходного |
сиг |
|||
налов линейной цепи. Из них следует, |
что |
расчет коэффициен |
||||||
тов Фурье не |
зависит от вида |
передаточной |
функции |
Ѵ/Ср) |
|
|||
Как правило, |
передаточная функция линейной цеди является |
ра |
||||||
циональной функцией. Однако расчет коэффициентов может быть проведен этим способом и для цепей, описываемых трансцендент
ными передаточными функциями;и |
функциями, имеющими целую |
часть. |
|
Используя разложение |
в РЯД Фурье, можно обыч |
ным способом построить реакцию системы во времени. При этом, 14
естественно, нужно учитывать, что ряд определяет функцию од нозначно только в интервалах, где она непрерывна. Если функ ция у'(С) имеет в точке { =-Я? разрыв I рода, ряд Фурье определяет ее значение в этой точке равным
у&) = y / у (т- о) + у(т+(Ь].
Можно сразу |
указать |
условия, |
при которых установившаяся |
реак |
|||||||||||
ция |
системы |
y(fy |
|
будет |
непрерывной функцией. Если |
эс(£) |
|||||||||
имеет разрывы |
только I рода (практически |
это означает, |
что |
||||||||||||
в составе |
эс(і} |
|
нет |
S"- функций), |
и |
передаточная |
|||||||||
функция |
системы |
рациональна: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V f ë ) |
|
zw' |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
|
Г. |
' |
|
|
|
<I.I2> |
||||
|
|
|
|
|
|
|
ZfcpL |
|
|
- . |
|
|
|
||
разрывы |
y |
y{{y |
|
будут |
отсутствовать при |
П ^ |
rn+ |
/ |
|
||||||
Если |
/7 |
|
=/77 |
, |
при наличии разрывов у |
Х.(е} |
в |
выходном |
|||||||
сигнале |
также |
будут |
разрывы I |
рода. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Таким образом, |
применение образующей функции и ее изоб |
|||||||||||||
ражения позволяет произвести гармонический анализ линейной |
|||||||||||||||
стационарной |
цепи с |
помощью только |
алгебраических операций. |
||||||||||||
|
С помощью образующей функции можно также решить |
задачу |
|||||||||||||
определения |
реакции |
у(t)<> |
системы на |
периодический |
сиг |
||||||||||
нал в замкнутой форме. Эта возможность опирается на струк турное представление периодического сигнала (рис. І . І ) и ис пользует, по существу, методы теории импульсных систем. В основе лежит следующее рассуждение. Если периодический сиг нал подвергнуть импульсной модуляции с периодом, равным
периоду 7* . на выходе модулятора образуется последователь ность 8" - функций, площадь которых одинакова и равна зна чению рассматриваемого сигнала в моменты квантования. Обра тимся к схеме, показанной на рис. 1.7.
Y "(pi
|
S |
|
|
|
|
|
SM |
|
|
|
S/Pi |
|
Рис. 1.7. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Она Показывает структурно процесс образования периоди |
|||||||||
ческого |
сигнала |
|
н а |
выходе стационарной цепи |
и его |
||||
квантование. Будем |
считать, |
что |
VJ(p) |
определяется в |
соот |
||||
ветствии |
о формулой |
(1.12) |
и |
П & |
/ |
• Это |
ограниче |
||
ние не является существенным, поскольку, если Ѵ/(р) |
|
имеет |
|||||||
порядок |
числителя |
m |
больше |
порядка |
знаменателя |
П |
, у |
||
нее всегда можно выделить целую часть, для которой расчет
преобразования периодического сигнала |
не представляет зат |
||
руднений. Если же ограничить класс рассматриваемых цепей |
|||
классом физически реализуемых цепей ( |
П ^ |
гп ) , |
передаточ |
ную функцию всегда можно представить |
в виде : |
|
|
|
|
|
(І.ІЗ) |
причем для Ѵ/(р) выполняется условие |
П^/Щ-/ |
||
Найдем изображение импульсно-модулированного |
сигнала |
||
16
Для этого можно воспользоваться формулой свертки в комплек сной области [ 7 "] :
Подставляя сюда значение ~YCp) |
, получим: |
С Ѵ/ ое |
|
Интегрирование вдоль линии от C-j'oo до С'у'оо при сделанном выше предположении о форме передаточной функции Wtp) эквивалентно интегрированию в положительном направле нии вдоль замкнутого контура, образованного этой линией и
полуокружностью бесконечного |
радиуса в левой полуплоскости. |
|
Поэтому, переходя к |
интегралу по этому контуру и решая его |
|
по теореме' вычетов, |
получим: |
|
|
|
/ |
/ |
0 0 |
|
|
|
- |
j |
- ^ |
r w |
ZL |
x.Mw&ù, |
das) |
|
где . Xx |
- j |
^~V |
- |
полюсы |
подынтегральной функции в ле |
||
вой -полуплоскости. Здесь не учтены |
полюсы, передаточной функ |
||||||
ции, так как рассматривается только установившаяся реакция |
|||||||
линейной |
системы. |
|
|
|
|
|
|
Выражение (1.15) представляет собой изображение перио |
|||||||
дической последовательности |
8'- |
функций, площадь |
которых |
||||
одинакова |
и равна |
бесконечной |
сумме |
^^^„hl^k^JL/^^^, |
|||
г Ъж. Гбіг.. |
|
|
|
|
Гс"-- п': -*':"~л 17 I |
||
|
|
|
|
|
|
j :мблі:е ro-.rt |
С |
