Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

над осью х и вертикальными прямыми х = а, х = b (a<^b), опре­ деляется формулой

аа

Ясно, что если линия расположена под осью х (рис. 68), то

Рис. 68

Если фигура ограничена сверху линией у = f (х), а снизу —ли­ нией у = ср (х) (рис. 69), то ее площадь

так как она представляет собой разность площадей криволинейных трапеций, ограниченных этими линиями. Формула (7.3) справед­ лива при любом расположении линий относительно оси х [конечно, при сохранении условия, что f (х)>- ср (х) ]. Вычисление площади более сложной фигуры может быть выполнено при помощи формул (7.1), (7.2) и (7.3) путем соответствующего разбиения фигуры на части и суммирования их площадей. Так, например, при вычисле­ нии площади фигуры, изображенной на рис. 70, ее можно разбить, например, на три фигуры, площади которых вычисляются по фор­ муле (7.3).

Пример 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной па­ раболой у = 4Л:2 — 1 и прямыми х — 0 и х = 1 (рис. 71).

154

Из чертежа видно, что рассматриваемая фигура состоит из двух частей: криволинейной трапеции D x , расположенной ниже оси х, и криволинейной трапеции Z?2 , расположенной выше оси х. Вычисляя площади этих фигур по формулам соответственно (7.1) и (7.2), получим

_1_

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой у =

У

Из чертежа видно, что данная фигура ограничена сверху линией у =

=— и снизу — линией у = — х. Для вычисления площади по формуле

155

Вычисление площади плоской фигуры в полярных координатах

Пусть фигура ограничена линией, заданной уравнением в по­ лярных координатах

Для этого разобьем данный сектор на более узкие секторы при по-

искомой площади, считая, что в пределах каждого частичного сек­ тора, ограниченного лучами ф = q>k и ф = Ф^+р полярный радиус не изменяется. При таком условии частичный сектор можно считать

кругового сектора, как известно из геометрии, равна — [/ (|f t )]2 Дфй . Таким образом, приближенно площадь частичного сектора

156

Так как площадь всего криволинейного сектора

п—1

Q=2>Qk,

то приближенное значение этой площади будет

я—1

Точное значение площади равно пределу полученной суммы при max Дф/, -*• 0; но эта сумма представляет собой интегральную

сумму для функции — / 2 ( ф ) на промежутке [а, В], и ее предел равен

Рр

| ^ - / 2 ( ф ) ^ Ф = | ^ Р 2 ^ -

аа

Таким образом,

Q=4-'J"pBdq>. (7.5)

Задача была решена по первой схеме применения определенных интегралов. Решим теперь для примера эту же задачу, пользуясь второй схемой. Обозначим -через Q (ф) переменную площадь кри­ волинейного сектора, отсекаемого лучом, проведенным под углом Ф ( а < ! ф < ; р ] . Далее дадим фиксированному значению ф (рис. 75)

Л 2 ( ф ) = - ^ - р 2 Л р .

157

Интегрируя полученное выражение в пределах от а до р\ при­ ходим к формуле (7.5).

Вычисление площадей сложных фигур в полярных координатах может быть произведено путем разбиения их на более простые, площади которых вычисляются по формуле (7.5).

158

7.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА ПО ПЛОЩАДЯМ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Вычисление объемов * тел в общем случае рассматривается в разделе «Интегральное исчисление функций нескольких перемен­ ных». Однако некоторые частные случаи этой задачи могут быть решены уже сейчас.

Пусть дано тело конечных размеров, для которого известны пло­ щади всех сечений, перпендикулярных некоторой прямой (рис. 78). Найдем объем этого тела. Будем решать задачу по первой схеме применения определенных интегралов. Примем указанную прямую за ось х и обозначим через а и Ь (а<^Ь) абсциссы точек пересечения

с осью крайних плоскостей, ограничивающих тело. По условию

с осью х. Разобьем данное тело на л слоев при помощи плоскостей,

[xk<lk<xk+l).

*-Мы исходим из интуитивного представления об объеме тела, ограни­ ченного кривой поверхностью. Строгое определение этого понятия можно найти, например, в книге Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц . «Основы математиче­ ского анализа», т. 1.

159