Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.07.2024

Просмотров: 132

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

(я — число

волн

по окружности

большого

круга) , перепишем

систему (10.9) — (10. 11) в форме

 

 

 

 

 

 

 

 

ѵ л 2 ѵ „ 2 ^ ( Ѳ ) = £ Л ѵ І ^ ;

 

 

(10.14)

0(l

- у

Ѵ я а )

 

Ѵ ^ + ^ Л ц

4 - ^ а % а = 0 ;

(Ю. 15)

 

 

 

( l - j V / ) z = ^ ,

 

 

(10.16)

где

 

 

( 1 — Т] COS 8)2

(d?{)

 

\ .

 

 

 

ѴЛ)

 

 

 

 

2„2

 

rf02

 

1 — T)5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1 - ,

cos 6)2

M

r (

c o s f l

}

і * 0 -

•ЦП A

(10.17)

 

 

C 3 ^ ( l _

^2)1/2

Wo

| /

 

 

rf6

 

 

 

 

 

 

'•11-

Л22"

(1—11 COS О ) 2 / ,

«2f]2

— _ | _

1] sin Ѳ dw

 

— тр

1—T] cos Ѳ d%

(1 —V) COS Ѳ)2 /</2ау !

7) sin Ѳ

(10.18)

dro

c 2 ^

rf02

1 —7)cos6

dd

Перейдем к решению задачи

2.КРИТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ВНЕШНЕГО ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ

З а д а д и м

функцию прогиба

w (Ѳ ) в

форме

 

 

 

 

 

w (Ѳ ) = ш sin т%

 

 

 

(10.19)

(т — число

волн по окружности

поперечного

 

сечения

оболочки;

ш — const).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь дл я определения функции F имеем

обыкновенное диф ­

ференциальное

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

*

 

« Ѵ _ \ п _ т , ^ .

 

™ / r r f 2 _ _ _ * 2 . i

2 _

/="(9)

=

 

 

 

, ( l - i l cos

Qf —

2 - 2 -

 

ДО

1— Т]2 /

'

\d№

1— 7)2/

 

W

 

 

_ Ehcwiß

 

_ n ^ s j n m Q _ m

c

o s m g

g _ m 2 s

j n m g

C Q S

g

(1 - T)2)V2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.20)

иусловие периодичности по Ѳ.

По л о ж и м временно

(1 т, cos of- ^

- у ^ ) ~F (8)=Ф (б)

(Ю. 21)

161

н и з (10.20)

получим уравнение

 

 

 

 

 

 

 

Ehcwrp

от (да + 1) .

,

I , ,

„

 

1 — т)2

 

—^

' sin (от 4 -

1)0-

\d№

( 1 - ,2)1/2

2

 

v i

'

 

-

Г Ц О Т 2 - Д 2 )

Sin OT0-f-^—iL.

sin

( о т -

1)Ѳ

(10.22)

Решение

уравнения

(10.22) ищем в

форме

{А,

В,

С — const)

Ф(Ѳ)— — A sin (mAr ПО — ß sin mö — С sin (от— 1)0. (10. 23) После подстановки в уравнение (10.22) имеем

.4:

Ehcwrp

 

 

m (от

+

1)

 

 

 

9( 1

^2^/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^>

 

( О Т + 1 ) 2

 

— V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В:

Ehcwrß

 

m- — н 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

}

(10.24)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - ^ 2

 

 

 

 

 

 

£

Ehcwrp

 

 

от (от —

1)

 

 

 

 

~

2 ( 1 — -^2)1/2

( О Т - 1 ) 2

 

712,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - , 2

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, относительно F получаем

уравнение

 

rf2

 

 

 

 

1

 

 

Л sin (m Ar 1)9 +

 

 

 

(1 — -г) COS Ѳ)2

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 5 sinотѲ+

С в і п

(от-

1)0].

 

(10.25)

Решение этого уравнения

 

ищем

в івиде ряда

по

синусам

 

F

=

yN„sïnkB.

 

 

 

 

 

(10.26)

 

 

 

* = і

 

 

 

 

 

 

 

И м е я в виду в дальнейшем

использовать

метод

Бубнова, найдем

в этом разложении только

коэффициенты Nm,

Nm-\,

Nm+\.

Рассмотрим

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V--

 

sin pO

 

 

(10.27)

 

rf62

\

r?)2

)

( 1 —

T) COS 6)2

 

 

 

 

 

Пусть

\d№

1 — ц

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К = 2 V f t s i n * 9 ,

 

 

 

 

тогда

 

 

A =

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sill £ 6 :

 

sin pQ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A - l

 

1

— " 1 =

 

( 1 — 1 )

COS 6)2

 

 

 

 

 

 

 

 

1 6 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У м н о ж ая обе части этого

равенства на sin /гѲ и интегрируя

в

пределах

— я < Ѳ < я ,

получим

 

 

 

v k = -

 

1

 

 

cos (р — к) В — cos (/> + k) 6

rf6

2

g .

 

 

 

 

(1 — T) cos 6)2

 

 

 

 

 

[к? +

 

 

 

 

 

 

Я

 

 

 

 

 

 

или, вводя

обозначения

 

 

 

 

 

 

 

(1-,2)3/2

cos сб^б

 

(10.29)

 

Afo) =

 

 

(1 — T) COS 6)2 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перепишем предыдущую формулу в виде

 

 

 

 

 

/г2

1

Q2 •\HP-k)-A{p+k)\,

 

( 1 0 .

3 0 )

 

 

+

 

 

 

Ѵ„

 

 

 

 

поэтому

в

разложении

(10.26) нужные коэффициенты

 

таковы:

Nm-X=

.(m— I ) 2

+ Q2 f А t A (2) - Л

( 2 / n ) l

+

+ 5 [ A ( l ) - A ( 2 m - l ) + C [ A ( 0 ) - A ( 2 m - 2 . ) ) ;

^ = ( 1 ~ 2 + ^Г

{ ^ [ A ( l ) - A ( 2 m + l ) l +

+ 5 [A (0) - A (2m)] + С [A ( 1) - A (2m -

1)] ;

^ m + i = ( l ! + i ) + 3 o 2 1 л [ A

( 0 ) ~ A

( 2 m +

2 ) 1 +

- f - £ [ A ( l ) — A ( 2 m + 1 ) ] + C [ A ( 2 ) — A ( 2 m ) ] .

Здесь, согласно (10

.29),

 

1 - ( 1 - - Q 2 .)2ЛІ/2

A(?) =

[1 + <7(1-Ï|S)V2]

(10.31)

;10. 32)

;10.33)

;io. 34)

З а д а в а я с ь целью выразить функцию

перемещений %(Ѳ) череа

функцию прогибов w{Q),

рассмотрим

уравнение

 

 

 

Ѵ „ 2 и + ^ 2 и = 0 .

 

 

 

Используя выражение дл я оператора

Л а п л а с а ,

запишем

это

уравнение в явном виде

X27)22

 

 

 

 

 

(Pli I

 

к]2/г2

 

 

 

 

C

 

й = 0.

; ю .

3 5 )

rf62

( 1 — 7)C0SB)2

1 .

 

 

 

П а р а м е т р X2 должен

быть

найден

из условия

существования

периодических решений

этого

уравнения . Р а з л о ж е н и е м коэффи-

1 6 3

циента ( 1 — i ] C o s Q ) - 2 в ряд по косинусам уравнение (10.35) может быть сведено к уравнению Хилла, однако ввиду прибли­ женности решения задачи в целом, ограничимся средним значе­

нием этого коэффициента

 

 

J _ f — ^ — =

Ц _

(10.36)

Л У (1—-Г) COS Ѳ)2

( I — Tj2)3'2

 

0

 

 

и заменим уравнение (10.35) приближенным уравнением с пос­

тоянными

коэффициентами

 

 

 

 

 

 

 

£ «

, ^

_ J * g J U = 0 .

 

( 1 0 . 3 7 )

Уравнение

(10.37)

будет иметь

периодическое

решение,

если

 

 

 

 

 

 

н 2 ^

= /n s ,

 

 

(10.38)

 

 

 

( 1 _

^2)3/2

 

1 - ^ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г д е m — целое положительное число, поэтому

 

 

 

 

Х 2 =

=

( і

- ^

 

 

 

 

(10.39)

В о з в р а щ а я с ь к (10.37),

находим две собственные функции

 

 

 

w = sin/7z9;

« = c o s m 0 .

 

 

 

И з (10.16)

следует,

что

функцию

 

следует

принять

в виде

 

 

 

 

x ( B ) = * s i n m B ,

'

 

(10.40)

тогда между постоянными W и А' определится

связь

 

 

 

 

 

X(l+kQm)

 

= W,

 

 

(10.41)

г д е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k = 2-id—U_;

Q

7j2

+ .

7)2

(10.42)

 

 

 

ß C

2

т

1 —

V

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (10. 10) интегрируем методом Бубнова, в соответ­ ствии с которым имеем равенство

+ N20v22\ sin т Ѳ ( 1 — ^ c o s 9 ) - 2 û f 0 = O.

(10.43)

164

Исполь зуя (10.43), получим

(D_

1 +k%Qm

0 2

, с 4

l + A Q m

т

l

т 2 (9 — 7,2)

II'

2 С ( і _ т , 2 ) 3

 

 

 

 

1

 

 

[m (//г - j - 1) Nm+1

— r\ {tri1—li2)

N

 

 

 

 

 

£.3^2(1

_

^,2)1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 r m ( / n - l ) 7 V I B _ 1 ]

=

0

 

 

 

 

 

 

(10.44)

или, сокращая

на w и

р а з р е ш а я

относительно

q,

будем

иметь:

 

 

 

 

С37)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + / e S Q m n 2

_і_

 

2

D ( i

_

,,2)1/2

 

и 2 _ 2 — 1 ) 2

_

„2

L

i +

ЛѲ,„

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т)2 1 — 7)2

 

1 — 7,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, [ [ 1 - A ( 2 w ) ]

 

m2 (m + 1 ) 2

i

2ï)2 (/Л 2 _

/ г 2)2

m

2

(„ z

1 )2

 

 

I

7)'l

 

 

 

 

^

,

i

 

 

 

D -

 

 

 

 

 

Ö m - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•6Л

 

OT2 ( m 2 _ n 2 )

 

/ m 2 _ 1

 

/ г :

 

+

2

A ( 2

)

^ .2 (_m 12 . )

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7|40

 

, О

. ,

 

 

7 ) 4 0 т _ ^ т 9 „ г

, !

 

\

4 2

' 1 - 7 , 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M—m—1-m+1

 

 

I 3/И ( « 2 _ H 2 )

Л (2m— 1 ) - — - + A ( 2 m + 1 ) m +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ m + l

J

 

 

 

m 2

A (2m -

2)

 

 

+ A (2m + 2)

< * l ± i £

 

 

 

 

(10.45)

 

7,4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь введены

 

следующие

безразмерные

параметры

 

 

 

 

^ 2 ( 1 - 7 , 2 ) 3 / 2

;

 

^

 

 

Ehe2

 

 

• Q -

 

яг-

,

« -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

? С 2

 

 

 

'

'

 

20(1 - 7 ,2)5/ 2 •

 

'

т~

 

 

1 _ Т ( 2

 

 

 

 

 

 

 

 

'»

т,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- , /1 - / Г ^ 2 \ " г

 

1 + 1 й У Т ^ 2

 

 

11'".

 

A ( m ) = ( l

+

 

m V l - f ] 3

)

 

 

 

 

 

 

(1

+ У 1 — 7,2)™

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.46)

При

достаточно

больших

m три последних

 

слагаемых

в

(10.45)

могут

быть

опущены

ввиду

малости

 

коэффициентов

Л (2т),

А

( 2 т + 1), Л

(2т—1),

Л

(2т—2),

А (2т + 2).

 

 

Д л я

осесимметрнчной

формы

потери

устойчивости

(п=0)

в

этом случае

(/п^>1)

получаем

равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J_

дс^ 1 ) (

2 - 7 , 2 ) _ 1 +kiQmQ

 

.

jx2

( 1 - 2 7 , 2 )

 

 

 

 

(10.47)

 

 

2

D

(1 _ 7,2) 3 / 2

i +

A Q m

^ m

^ ~

 

Q m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

S m

n

165

Смотрите также файлы