Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.07.2024
Просмотров: 134
Скачиваний: 0
З д е сь
|
|
|
|
|
|
|
\2Щ(\ |
— ѵ2) |
|
||
|
X.2 = |
— |
; |
/г = |
; |
M = m2-\ |
À2 . |
(8. 39) |
|||
|
|
|
sin 2 a |
|
?^[2 |
|
|
1 я2 |
|
||
Д л я цилиндрической |
оболочки |
|
|
|
(8.40) |
||||||
|
|
a—»0; С—>0; V^P/R2; |
RX=R. |
||||||||
Д л я оболочки, |
целе |
||||||||||
у |
которой параметр |
£ 2 > 1 , формулу (8.38) |
|||||||||
сообразно записать так: |
|
|
|
|
|
|
|||||
О ) * - = |
2 |
|
|
|
m2Y]2+16 |
-•; |
|
|
|
||
Xj4 |
1 |
4 |
/г |
(/И,! |
+ 9)(/п2г)2+16) |
|
X |
|
|||
х;^ |
|
3 |
X; |
|
те2т)2 -)- 9 |
|
+ |
( 8. 4 1) |
|||
|
|
m2ï)2 + |
4 |
|
|
||||||
(Мі — 9)(,И( — 1) |
+ 1 б < Л<Га — 3) — 12да2т)2 |
|
|||||||||
, 2 И |
(М, — 3) [(.'И, — 1)2 + |
4m2-r]2] |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
m2ï]2 + 1 |
4+ |
|
|
|
||||
+ |
cos2 |
a |
|
|
^ |
+ ) W + 1 6 ) |
|
|
|
||
^ Х І |
|
|
|
|
|
|
|
||||
при этом |
|
|
( Ж , — 16) (Mx —94) — 32^2^2 + |
36 (Mi — 8) j |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
sin2a |
|
|
' |
Я2 |
|
|
(8.42) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из выражений (8.38), |
(8.39) следует, что |
минимальной |
круго |
||||||||
вой частоте соответствует одна полуволна в направлении |
обра |
||||||||||
зующей (т = 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Г л а в а |
9 |
|
|
|
УСТОЙЧИВОСТЬ И ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
1. УСТОЙЧИВОСТЬ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ
Система линеаризированных уравнений устойчивости сфери ческой трехслойной оболочки, нагруженной внешним гидроста тическим давлением интенсивности q, имеет вид
V |
W = |
- ^ V * ( 1 _ - ^ V S ) X ; |
(9.1) |
fl(l-^V2)vVx |
+ | |
v 2 f 4 - ^ V 2 ( l - | v j ^ 0 , |
(9.2) |
152
где R— |
радиус срединной поверхности |
сферы; |
V 2 — оператор |
Л а п л а с а |
в сферической или полярной |
системе |
координат; пос |
ледняя вводится при рассмотрении пологого сферического сег мента.
П о к а ж е м , что |
значение |
критического давления |
не зависит |
||||||
от краевых условий для функции тангенциальных усилий F. |
|||||||||
Действительно, |
выполняя |
операцию Л а п л а с а |
над |
уравнени |
|||||
ем (9.2) и используя уравнение |
(9. 1), получим |
уравнение |
толь |
||||||
ко относительно функции % |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
D(l-f |
V 2 ) VW * |
+ ~ |
V ( l - f V 2 ) X 4" |
|
|
|||
|
|
+ ^ ѵ Ѵ ( і - ^ - Ѵ 2 Ь = 0 . |
|
|
|
(9.3) |
|||
Введя |
произвольную гармоническую функцию |
/, |
запишем |
урав |
|||||
нение |
(9. 3) в виде системы двух |
уравнений |
|
|
|
|
|||
я(і -*£ v-jv v x 4 - f ( i v j х + ^ v2 (i |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.4) |
|
|
|
V 7 = |
0. |
|
|
|
(9.5) |
|
Используем д а л е е |
новую функцию |
%і согласно |
равенству |
|
|||||
|
|
x = z i + - ^ - / ; |
|
|
|
(9.6) |
теперь уравнения (9.1) и (9.4) можно привести к следующей системе:
v W = i £ . v « ( i - - ^ v » ) x x ; |
(9.7) |
|
+ - Т |
^ Ѵ * ) х і = 0 . |
(9.8) |
Если |
дл я функций % можно |
сформулировать три |
независимых |
от F |
краевых условия, а это |
так в подавляющем |
большинстве |
случаев, то функцию f можно считать тождественно равной ну
лю. |
Д л я |
доказательства |
достаточно |
сформулировать эти крае |
||
вые |
условия относительно %\, тогда |
вследствие |
единственности |
|||
решения |
краевой задачи |
дл я уравнения Л а п л а с а |
(9. 5) |
получим |
||
/ = 0 |
и система (9.7) — (9.8) будет эквивалентна |
системе |
(9.1) — |
|||
(9. |
2) . |
|
|
|
|
|
153
Н а й д ем критическое давление для полной сферической обо
лочки. Пѵсть |
|
|
|
Ѵ 3 Х і = - ^ / і - |
(9-9) |
||
И з (9. 8) находим в ы р а ж е н и е интенсивности (внешнего |
давления |
||
q в зависимости от параметра X2 |
|
|
|
|
1 + — |
X2 |
|
Я*- = й)? |
9- |
+ — |
(9.10) |
|
• |
À-' |
|
|
ß |
|
|
Вводя безразмерные параметры |
|
|
|
_ |
А2Л 2 _ |
1 2 Я 2 ( 1 _ Ѵ 2 ) |
|
2Dn2 |
ß/?2 |
ѲА2л'і |
|
/ П і = Х 2 |
- ^ - , |
(9.11) |
|
|
|
Я- |
|
перепишем (9. 10) в форме, |
полностью совпадающей с |
в ы р а ж е |
нием для параметра осевой силы цилиндрической оболочки ра
диуса |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q . = |
\±£*L |
/ П і |
+ Л . |
(9.12) |
|
|
|
|
|
1 + |
Ігпц |
nii |
|
Повторяя |
рассуждения |
разд. |
2 гл. 3, |
получим |
следующие зна |
|||
чения параметра критического |
давления: |
|
||||||
п р и |
• |
'• |
« |
1 |
|
|
|
|
|
1 — R'.J. |
|
|
|
|
|
||
П р и |
[J-ft У~ѵ |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
m, |
-^; g'mla |
= V.V'o+— |
. |
(9-14) |
|
О д н а к о должно еще существовать решение уравнения |
||||||||
|
|
|
|
|
V ! X i + - | m l X l |
= 0 |
(9.15) |
при условиях конечности решения в полюсах сферической сис
темы координат, |
вследствие чего |
формулы |
(9.13) — (9.14) будут |
||||
д а в а т ь несколько |
заниженные |
значения критического |
давления . |
||||
Уравнение |
(9. 15) |
будет иметь нетривиальное решение при зна |
|||||
чениях |
m i , |
удовлетворяющих |
следующему |
условию: |
|
||
|
|
|
я 2 т 1 = т |
(m-j- 1), |
|
(9.16) |
|
из этого |
уравнения может быть |
определен |
параметр |
волнообра |
зования m (т. — целое положительное число).
154
З а д а ч а устойчивости пологого сферического сегмента |
с радиу |
||||||||||
сом основания а, свободно опертого по контуру, |
решается |
ана |
|||||||||
логично, так как краевые |
условия для % приближенно |
м о ж н о |
|||||||||
принять в форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z = V 2 z = V 2 |
V ï z = 0 |
при г = а , |
|
|
( 9 . 1 7 ) |
|||||
где г — полярная координата . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Параметр %, фигурирующий в уравнении |
( 9 . 9 ) , |
определяется иа |
|||||||||
характеристического |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
І„(Ы)=0, |
|
|
|
|
|
( 9 . 1 8 ) |
||
где Jn(x) — функция |
Бесселя первого |
рода |
п-то порядка; |
п — |
|||||||
число волн |
по окружности |
основания |
сегмента, |
образовавшихся |
|||||||
в результате потери |
устойчивости. Числа |
Ха и п определяются |
|||||||||
так, чтобы |
параметр |
был (в зависимости |
от |
характеристик |
|||||||
оболочки) |
ка к можно ближе к одной из величин |
|
|
|
|||||||
|
|
Я 2 |
и. |
Я 2 |
|
|
|
|
|
|
( 9 . 1 9 ) |
|
|
R2 |
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
соответствующих минимуму |
правой |
части |
( 9 . 1 0 ) . Здесь R— ра |
||||||||
диус оболочки; ц., k — безразмерные |
параметры . |
|
|
|
|||||||
Краевые условия |
( 9 . 17) |
соответствуют |
свободному |
опира- |
нию сегмента. Приведенное решение, однако, может быть ис
пользовано |
и для других |
случаев закрепления, |
если |
минимум |
|||||||||
праівой |
части |
( 9 . 10) реализуется |
не на первом корне |
уравнения |
|||||||||
( 9 . 1 8 ) , |
т. е. если |
при потере устойчивости |
основная |
|
вмятина |
||||||||
охватывает |
|
только |
часть |
сегмента, |
что обычно |
имеет |
место. |
||||||
В противном |
случае |
следует |
составлять |
характеристическое |
|||||||||
уравнение с учетом |
действительных условий |
закрепления . |
|||||||||||
|
|
|
2. |
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛОГОГО |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
СФЕРИЧЕСКОГО СЕГМЕНТА |
|
|
|
|
||||
П о л а г а я |
<в ( 9 . 2 ) <7 =0 |
и д о б а в л я я |
поперечную |
инерционную |
|||||||||
силу, приходим |
к |
уравнениям |
малых поперечных |
колебаний |
|||||||||
трехслойной |
сферической |
оболочки: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
V V F = - ^ v ! ( l - ^ V s ) x ; |
|
|
|
( 9 . 2 0 ) |
|||||
D { 1 |
|
V2)^+TV'2F+Qhu{1 |
|
|
- Y V ' 2 ) X = 0 , |
|
( 9 ' 2 1 ) |
||||||
Полагая, что функции |
F и % являются гармоническими |
функци |
|||||||||||
ями времени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
F — Fn |
cos«/; |
|
|
|
|
( 9 . 2 2 )
y_ = XoCos<
155
получим систему уравнений для определения собственных |
час |
|||||||||
тот |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9. 23) |
° {1 |
- |
Т |
Ѵ 2 ) |
^ Х О |
+ ^ |
" Ѵ ^ „ - |
Q//-2 |
( l - Y V |
J XO = 0 . |
( 9 . 2 4 ) |
|
I I |
здесь легко |
доказывается, |
что |
собственная частота не за |
|||||
висит от вида краевых условий для F0 и определяется только из |
||||||||||
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
D |
( |
L - |
J |
V 2 ) v 2 |
V 2 X O - ( Q / ^ + |
^) |
( l - Y |
Ѵ а )хо = 0 . |
( 9 . 2 5 ) |
|
|
Однако |
на первую |
собственную |
частоту |
вид краевых |
усло |
||||
вий |
функции |
%о влияет |
более существенно, чем на величину |
кри |
тического давления, так как ей соответствует наименьший ко
рень характеристического |
уравнения. |
|
|
|
|||||
Действительно, |
пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵ 2 Х о = - Х 2 хо , |
|
|
( 9 . 2 6 ) |
|||||
из уравнения ( 9 . 2 5 ) |
получим |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ѴІІ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 Ч- — |
Х2 |
Eh |
|
(9. 27) |
||
QACÜ2 = |
|
D X 4 - |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
+ |
у Х » |
|
|
|
|
отсюда следует, что наименьшему |
значению |
со соответствует |
|||||||
наименьшее значение л. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V - X O = ^ - z x 0 , |
|
|
(9.28) |
||||
после подстановки |
(9.28) |
|
в уравнение |
(9.25) |
приходим к куби |
||||
ческому уравнению для параметра |
z |
|
|
|
|
||||
|
( 1 — Ш)г2—%2{\ |
|
— кг) = 0 . |
(9.29) |
|||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
Л 2 я 2 |
|
9 |
/ ? ' |
|
/ , |
о |
Ell |
(9. 30) |
k = |
|
; V- |
|
|
о/хог — |
|
|||
|
Н2 |
|
|
Dn4 |
\ |
|
R2 |
|
|
Используя теорему |
Виета, |
имеем |
соотношения |
||||||
|
Zi + |
z2 + |
z3 |
= |
I |
|
|
\ |
|
|
«1*2 + |
22*8+«8*1 = |
|
|
(9.31) |
/гй
156