Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

Здесь

2 ] , z2,

Zi — корни уравнения (9.29). Пусть

z\ действитель­

ный

отрицательный

корень

(9. 32)

тогда

из (9. 29)

имеем

у.2

= Х*

1 +

кѵі?

(9. 33)

1 +

№

Остается

выразить

z2

и г 3

через

К2, они являются

корнями

квад­

ратного

уравнения

и- —2 — :

и-\

kv

•—— =

0,

(9. 34)

2кѵ

1 + k\?

решая которое

получим

1 + kv),?

1

(9.35)

2кѵ

(1

+ ftX2)(l +

кѵЩ

z = if

=

1 +

кѵі?

Akvl?

Как

правило,

2kv

1+1V1

(1 + к\2) (1 +

kv\?)

4kvK2<^\,

поэтому

a =

t

X2

(9. 36)

1 4- AX2

1 +

kvl*

2toX2

(1 + Я 2 ) ( 1

4-toX2)

Если изгнбной жесткостью несущих слоев можно пренебречь

(у<СІ),

а при определении

низших

частот

это допустимо

в по­

д а в л я ю щ е м большинстве

случаев,

то следует

положить

г| = оо.

Теперь для %о в случае

замкнутого

в вершине

сегмента

имеем

общее

решение

А / л ( ^ - г )

+

£ / л ( - ^ г) +

С / , ( ^ г ) ] cos я* .

(9.37)

Здесь

Jn(x),

Іп{х)

—соответственно

функция

Бесселя

и

моди­

фицированная

функция Бесселя

первого

рода

порядка

n; г —

полярная координата

(0<г<а);

п — число волн

по окружности.

Если приближенно принять дл я свободно опертого

сегмента

краевые условия в виде

Хо =

Ѵ2Хо =

ѵ Ѵ х о = 0, при

г=а,

(9. 38)

то из

общего

решения

(9.37)

получаем

характеристическое

уравнение

Jn(h)=0,

(9.39)

где

ѵ = х Х

:

( 9 , 4 0 )

а — радиус основания сегмента.

П р и

этом частота

свободных

колебаний

определяется

по фор­

муле

№

D

, 4

1 + k\vli2

I

Eh

(9.41)

—

Aj

1 +

— -

R?Qh

a-iQh

АіХ^

Здесь

h°-

(9.42)

Рд2

Д л я

жестко

защемленного

сегмента краевые

условия

будут

1 - 7 - Ѵ а ) х о = - ^ -

=

| : Ѵ 2 Х о =

0,

при г=а.

(9.43)

Используя общее решение (9.37), получаем

характеристическое

уравнение

( 1 +

k^Vn

W ;

( 1 - V i ) Л, Ы ;

( 1 -

/„ ( \ ) ;

V / W ;

Ѵ Л ъ ) ;

= 0

(9.44)

г д е

,

и

,

яа

„

па

„

л і = - ^ - л ;

^ І = - ^ - ! А ;

, І І = - ^ - 1 І ;

А1

А2

(9.45)

=

ß a 2

Д л я осесимметричных

колебаний

в случае, когда

изгибной

жесткостью

можно

пренебречь,

уравнение

(9.44)

приобретает

вид

( 1 + А/г)З/У0 (ХХ ) І

Х (

Н )

+

У, (X,) / 0

(ix,) =

0,

(9.46)

при

этом

(9.47)

/ 1

+

krf

с

/

cos CD;

Х-

1 — т) cos Ѳ

С / 1

_

TJ2

(10.2)

y = ~

T T

s i n t

p ;

1 — i\ cos Ѳ

ei) sin Ѳ

1 — 7) cos Ѳ

( 0 < < р < 2 і г ;

_ я < Ѳ < л ) .

Здесь с — размерная

величина,

связанная

с

радиусами

а и R

равенствами

Л — Т)2

/ 1 -

7)2

;ю. 3)

П а р а м е т р ы

Л а м е

и

радиусы

главных

кривизн для координат

Ф = .ѵі, Ѳ =х2

соответственно

равны

А =

с

CT)

1 — f] cos

0

А = - 1 — т| cos Ѳ

(10.4)

СУ]

cos Ѳ — ті

л 1

В докритическом

безмоментном

состоянии

в

оболочке

возник­

dQ

1 dQ

(10.5)

— q.

Ri

R2

Используя условие периодичности, из

этих

уравнений

можем

получить

значения

докритических тангенциальных

усилий

Л 7 =

1

2

/ Г — ?

(10.6)

- L g

1-

1 — 1)

cos

0 7 1

2

^ Ü T r f

1 — 1 ) 2

Обозначая

w (ф, Ѳ ) — прогиб

оболочки

в момент потери устой­

чивости, находим в ы р а ж е н и я для изменения

кривизн

_

( 1 - 7 ] COS 9)2 [

if

d°-zv

i] sin Ѳ

dw

' и —

сЦ2

1 — Ц2

dcp2

1 — т, COS

(10.7)

(1 — 7] cos Ѳ)2 [д-w .

-r) sin

Ѳ

ода

'•22_

C27]2

ОѲ2

1 — -ц cos I

Т ак ка к

то оператор Л а п л а с а

V 2 ( ) записывается

в форме

(1 — 1) COS 8)2

Г <J2()

d 2 ( )

(10.8)

V a ( ) =

С2т|2

L

ОѲ2 ' 1 — 7 ) 2

ö<?2

Система уравнений

устойчивости

имеет

стандартный вид:

v W

= £7zVft-TO;

(10.9)

D

l

u/j2

V 2 W - x +

V ^ - f i V A u - f

і Ѵ 2 % 2

= 0;

(10.10)

ß

о

-

_Л2 V W =

w

-

[11. 11)

ß

1

\ д

( А 2

1 др \ • а / І4І

1 ар у

ѵ * 2 0 = Л И 2

ô?J3.. 1V Ai.1

R7"ï2 .д<?1.. )M дб

\ А,12

Г>Ri -1Qдд ) \ '

в нашем случае он таков

(cos 6 - 1 ] )

Ш

02 ()

10. 12)

d<p2

С 3 , , 2 ( 1 _

,,2)1/2

(до

Принимая

w (ср,

Ѳ) = гг> (0) cos /г<р;

Х(<Р> ѳ ) =

х ( ѳ ) cosny,

(10.13)

F{<D,

0)==?(Ѳ) cos/гср