Файл: Арутюнян А.Г. Применение математических методов и ЭВМ в народном хозяйстве.pdf

случае точка Х = 0 будет критической. В силу линейности функции pj ( а.) — р* ().) область оптимальности каждого опор­ ного плана задачи (21.1)—(21.4) будет связной, а общая граница двух соседних областей (критическая точка) бу­ дет принадлежать каждой из них.

Следовательно, область оптимальности данного опор­ ного плана — либо конечный отрезок, либо луч. Проведен­ ный анализ позволяет при применении вышеизложенной процедуры всю действительную ось изменения параметра разделить на конечное число отрезков (крайние области же будут лучами), каждый из которых является областью оптимальности некоторого опорного плана.

Детальное изучение вычислительных схем алгоритмов решения нелинейной задачи (21.2)—(21.4) и их сравнение по суммарному объему арифметических (и логических) опе­ раций убеждает, что предложенный здесь алгоритм приме­ нения ПЛП, намного проще и эффективнее.

На стр. 313 приведена блок-схема решения параметри­ ческой нелинейной задачи по вышеприведенному алгоритму.

§ 4 . П р и м е р п р а к т и ч е с к о г о п р и м е н е н и я н е л и н е й н ы х м о д е л е й

На практике часто встречаются актуальные задачи на оптимум, которые требуют специального подхода. Для мно­ гих словесно поставленных задач (например, для задач управления сложными динамическими системами), вследст­ вие различных причин, составление математической модели либо практически невозможно, либо связано с' определен­ ными трудностями. Однако при некоторых предположениях, применяя описанные в предыдущих параграфах нелинейные модели, подобные задачи можно решать с требуемой точ­ ностью. В данном параграфе будет рассмотрена конкретная задача указанного характера.

п р о ц е с с о м . Успех внедрения ЭВМ в систему управления не­ прерывным технологическим процессом в основном зависит от каче&тва и гибкости алгоритмов оптимального управле­ ния. Помимо обработки технико-экономической информации,

312

Блок-схема алгоритма решения нелинейной параметрической задачи

313

управляющая машина должна, по существу, решать вопро* сы оптимального ведения режимов. Фактор времени реше­ ния задач здесь играет существенную роль. Решение за­ дач оптимизации с высокой точностью требует значитель­ ного машинного времени, и возможно, что за это время некоторые основные параметры будут изменяться. Возни­ кает задача опережения дрейфа параметров. Часто в хими­ ческой промышленности непрерывные процессы имеют та­ кие неуправляемые параметры, как состав сырья, влаж­ ность, температура, процентный состав примесей, давление и температура внешней среды и т. д. Некоторые из этих параметров могут изменяться в течение нескольких минут, часа, суток и т. д., а решение должно приниматься сразу или с незначительным запаздыванием.

Пусть для непрерывного технологического процесса имеется стратегия ведения, т. е. целевая функция или требо­ вания, имеющие четкое экономическое содержание. Для дан­ ного процесса или имеется точная математическая модель с необходимыми изменениями параметров, или все параметры процесса измеряются и вводятся в ЭВМ. В обоих случаях существуют методы нахождения оптимальных режимов:

а) метод эволюции, методы линейного, нелинейного и динамического программирования — в случае наличия мате­ матической модели процесса;

б) метод случайной оптимизации (при наличии или отсутствии математической модели), если все параметры измеряются.

Как указывалось выше, каждый из этих методов может оказаться непригодным в смысле реализации управления, если время решения задачи на ЭВМ значительное по срав­ нению с дрейфом параметров процесса. Этот факт выглядит более ясным в непрерывных технологических процессах, имеющих высокую производительность, так как наиболее важное требование к управлению такими процессами—это оперативность его реализации.

Не вызывает сомнения, что запоминание некоторого набора оптимальных режимов и его использование для ли­ нейной интерполяции промежуточных оптимальных режимов даст возможность осуществить оптимальное ведение, про­ цесса с помощью ЭВМ. Об этой возможности упоминается

314

в работе И. Орикоста 195]. За время подготовки указан­ ного набора оптимальных режимов машина как бы „обу­ чается” , а не управляет, но в дальнейшем она не только управляет, но и при необходимости увеличивает набор оптимальных режимов.

Параметры1 технологического процесса классифици­ руются различными способами. Здесь будет рассмотрена следующая классификация параметров:

а) входные неуправляемые параметры; б) входные управляемые параметры; в) выходные параметры.

Неуправляемыми называются те параметры, изменение значений которых происходит под влияние^ каких-то внеш­ них факторов. Эти параметры в математической модели процесса участвуют в качестве независимых переменных, Управляемые параметры—это параметры, значения ко­ торых в любой момент времени можно изменить на требуе­

мую величину в области допустимости.

Выходными параметрами называются те параметры про­ цесса, значения которых зависят от значений входных (управляемых и неуправляемых) параметров и которые измеряются или вычисляются. Пусть неуправляемые пара­ метры процесса образуют /я-мерный вектор В = { Ь Ь 2.....bw), управляемые параметры— /(-.мерный вектор K = (y j, у2.....

мизирует целевую функцию, будем называть вектором опти­ мального управления. Ясно, что для оптимального ведения процесса достаточно иметь функцию

выражающую зависимость вектора оптимального управле­ ния от вектора неуправляемых параметров. Зависимость (24.1) называется алгоритмом управления; при ее наличии

1 Обычно в литературе вместо термина .параметр процессаисполь­ зуется термин .переменная процесса (пли управляющей системы)-. Тер­ мин .параметр процесса' более точно соотве тствует действительности.

315

и принимается_в качеств^оптимальной стратегии при теку­ щем векторе В. Вектор У = У(В) можно получить и в ре­

управляющей вычислительной машины на изменение век­ тора неуправляемых параметров.

Применение задачи со специальной структурой имеет еще то преимущество по сравнению с применением общей задачи, что при специальной структуре матрицы условий она не запоминается; запоминаются только элементы пер­ вого столбца матрицы и вектор H = (hly h2,..., hm) — шагов изменения параметра.

В силу того, что между векторами As и Li установлено взаимно-однозначное соответствие, компоненты ykj вектора

Очевидно, при этом будет сэкономлено т

ячеек памяти ЭВМ. А эта величина при больших значениях т (количество неуправляемых параметров) и Т\ (количество уровней i-ro неуправляемого параметра) является достаточ­ но большой величиной. Численный пример аналогичной величины приведен в параграфе 1 первой главы настоя­ щего раздела.

Точность полученной указанными алгоритмами опти­ мальной стратегии (т. е. степень ее близости к действитель­ но оптимальной стратегии) зависит не только от поведения функции (24.1), но и от плотности точек А-у

317