Файл: Автоматизация_Staroverov.doc

Логические действия, с помощью которых простые суждения группируются в сложные, называются функциями алгебры ло­гики.

Наибольшее применение получили функции, входящие в си­стему логических операций: умножения (конъюнкции), сложения (дизъюнкции) и отрицания (инверсии). С помощью указанных трех операций можно выразить все остальные операции алгебры логики.

Логические умножение и сложение выражаются соответственно точкой (•) и знаком плюс (-)-), а отрицание —■ чертой над сим­волом переменной. Символы переменных изображаются бук­вами латинского алфавита.

Логическое умножение (конъюнкция) — это функция, соответ­ствующая логической связке И, с помощью которой простые суж­дения объединяются в сложные. Это сложное суждение ложно (равно нулю), если хотя бы одно из простых суждений ложно. Сложное суждение / (X), определяемое логическим умножением двух простых суждений а и Ь, можно записать в виде

/ (X) - а* Ь.

Рис. 105. Электрические цепи, реализующие операции: а — умножения; б — сложения

При числе простых суждений, равном т, формула логического умножения примет вид

/ (X) — й'Ъ'С ... т.

Электрическая цепь, реализующая логическую операцию И, состоит из последовательно включенных контактов. Ток проте­кает по этой цепи только в том случае, если замкнуты все кон­такты, а и Ъ (рис. 105, а).

Логическое сложение (дизъюнкция) — это функция, соответ­ствующая логической связке ИЛИ, с помощью которой простые суждения объединяются в сложные. Новое суждение будет истин­но (равно 1), если хотя бы одно из простых суждений истинно. Сложное суждение / (X), определяемое логическим сложением двух простых суждений а и Ь, записывается в виде

/ (X) — а -\-Ь.

При числе простых суждений, равном п, формула логиче­ского сложения примет вид

/ (X) — а + Ь + с +... + п.

В электрической схеме функции ИЛИ соответствует парал­лельное соединение контактов. Ток протекает по этой цепи, если замкнут контакт а или контакт Ь (рис. 105, б).

Логическое отрицание (инверсия) — это функция, соответ­ствующая логической связке НЕ. При этом, если основное суж­дение ложно (равно нулю), то его логическое отрицание истинно (равно единице), и наоборот. Аналитически логическое отрица­ние записывается следующим образом:

/ (X) = а.

В электрической цепи функцию логического отрицания мо­жет выполнять реле с размыкающимися контактами, которые будут разомкнуты при подаче напряжения на обмотку реле.

В алгебре логики существует целый ряд законов (соотноше­ний), которые отображают тождественные логические функции. Рассмотрим наиболее важные соотношения, которые можно раз­бить на три группы.

К первой группе относятся соотношения, которые согласуются с правилами обычной алгебры: переместительные законы:

1. а-Ь — Ь-а; 2) а 4- Ь — Ь + щ сочетательные законыз

3) (а-Ь)-с — а (Ь-с)з 4) (о + Ъ) + с = а + (Ь + с); распределительный закон!

Б) (а 4- Ъ)-(с 4- й) — а-с + Ь-с + а-й 4- Ь-й.

Ко второй группе относятся соотношения, не согласующиеся с правилами обычной алгебры: распределительный закон:

6) а-Ь с = (а с)-(Ь 4- с); закон повторения!

7) а-а-а •... •а = а;

8) а + а + а +... + а — а\

действия с константой:

9) а + 1 = 1- 10) 1 + 1 = 1.

В третью группу входят соотношения, не имеющие эквива­лентов в обычной алгебре: закон отрицания (инверсии):

2. а-Ь — а + Ь; 12) а + Ъ — а-Ь\ действия с инверсными символами:

13) а-а = 0; 14) а + а = 1;

15) а — а- 16) 0 - 1₅ 17) Т = 0.

Рассмотренный математический аппарат алгебры логики мо­жет быть с успехом применен для решения различных задач при проектировании схем управления различными механизмами, так как каждая цепочка схемы может находиться только в двух со­стояниях: либо проводить электрический ток, либо нет. Рассмотрим пример. Пусть дана математическая модель

/ (X) — а-Ъ-с (6 4- с) (х + Ь -|- с-х).

По этой модели построим схему (рис. 106, а), которая будет иметь девять управляющих элементов. Теперь с помощью зако­нов алгебры логики попытаемся сократить число элементов схемы (операция уменьшения числа элементов носит название мини­мизация).

Рис. 106. Схемы математической модели:

а •— до минимизации; б — после минимизации

Сначала рассмотрим первые четыре сомножителя модели и на основании соотношений 5, 7 и 13 запишем:

а-Ь-с(5 -|-с) = а-Ь-с-Б -{- а-Ь-с-с — а-Ь-с.

Затем, используя соотношения 5, 7, 9, 13, окончательно по­лучим:

а-Ь-с (х •+• Ъ 4- с-х) = а-Ь-с-х -+- 4- а-Ь-с-Ь 4- а-Ь-с-с-х =

= а-Ъ-с-х 4- а-Ь-с =

• а-Ь-с (х 4- 1) — а-Ь-с.

Схема по полученной после минимизации модели представ­лена на рис. 106, б. Она проще и надежнее, так как содержит всего три управляющих контакта.

Рассмотрим сущность аналитического метода разработки схем управления на примере разработки схемы управления неревер­сивным электродвигателем с помощью кнопок управления. В схеме необходимо предусмотреть тепловую защиту электродвигателя. Эта задача решается следующим образом.

1. Проводится анализ * работы установки для определения последовательности включения и выключения ее механизмов и выявления управляющих элементов. Вводятся условные обозна­чения исполнительных, промежуточных и управляющих элемен­тов. На основе анализа составляется буквенная циклограмма работы установки, которая должна отражать строгую последова­тельность включения и выключения механизмов.

В рассматриваемом примере правильная схема должна обес­печивать выполнение следующих функций. При нажатии на пу­сковую кнопку катушка магнитного пускателя возбуждается то­ком. При этом ротор электродвигателя начинает вращаться. Для остановки электродвигателя напряжение с катушки магнит­ного пускателя должно быть снято. Это может быть достигнуто нажатием на стоповую кнопку (размыканием ее контактов) или размыканием контактов теплового реле, которое срабатывает при длительной перегрузке электродвигателя. Обозначим катушку магнитного пускателя буквой К, пусковую кнопку — буквой Е, стоповую кнопку — буквой 5 и контакты теплового реле — буквой С. Тогда буквенная циклограмма будет иметь вид

О + Е + К — Е + М —К — М,

где О — нулевой такт; М = S + С, ибо катушка К магнитного пускателя может быть обесточена стоповой кнопкой (ее контак­тами) или контактами теплового реле С.

2. На буквенной циклограмме определяются периоды включе­ния (ПВ) и включающие периоды (ВП) исполнительных и проме­жуточных элементов. Периоду ПВ соответствует интервал от момента включения (пуска) элемента до момента его выключения (остановки), т. е. на буквенной циклограмме от знака плюс до знака минус элемента. Период ВП сдвинут относительно ПВ на один такт влево.

Определяем ПВ и ВП исполнительного элемента К на цикло­грамме. Других исполнительных и промежуточных элементов нет.

ПВ

0 + Е +К--Е + М — К —М.

1. __

3. Составляется первичная математическая модель для каж­дого исполнительного или промежуточного элемента. Она пред­ставляет собой произведение двух элементов циклограммы: вклю­чающего (пускового) а и выключающего (остановочного) Ь, взя­того со знаком инверсии, т. е.

f (X) = а-Б,

где X —■ исполнительный или промежуточный элемент. На цик­лограмме исполнительный элемент после включающего элемента стоит со знаком плюс, а после выключающего — со знаком минус. Если включающий контакт находится, в циклограмме со знаком минус, то в модель его записывают со знаком инверсии. Наличие знака минус у выключающего контакта приводит к тому, что в модели знак инверсии отсутствует.

Записываем первичную математическую модель для исполни­тельного элемента К, где / (К) = е-т; е — включающий элемент, т — выключающий.

4. Проводят три проверки составленной первичной модели. Цель первой проверки заключается в том, что исследуется при­рода включающего элемента на длительность включения. Вклю­чающий элемент является элементом длительного действия, если он не меняет своего знака во включающем периоде, и наоборот, кратковременного действия, когда меняет свой знак. Если в ре­зультате первой проверки будет установлено, что включающий элемент является элементом кратковременного действия, то первичную модель корректируют введением в нее самоблокировки, т. е. блокируют включающий элемент исполнительным или про­межуточным элементом. Тогда скорректированная модель будет иметь вид

f(X) =(а + х)-6, где х —- блокировочный элемент.

В примере включающий элемент Е меняет свой знак во вклю­чающем периоде, следовательно, он является элементом кратко­временного действия. Модель после корректировки будет иметь вид

/ (К) = (е + 1г)-т.

Суть второй проверки сводится к определению длительности действия выключающего элемента. Если выключающий элемент меняет свой знак в периоде включения, то он является элементом кратковременного действия, а если не меняет, то элемент длитель­ного действия. Если в результате второй проверки будет уста­новлена кратковременность действия выключающего элемента, то следует провести корректировку математической модели, полу­ченной по результатам первой проверки. Корректировка осу­ществляется продлением действия выключающего элемента суще­ствующим элементом циклограмм либо вновь введенным. Скор­ректированная модель будет иметь вид

основы 1

АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОИЗВОДСТВА 1

ЭЛЕМЕНТЫ АВТОМАТИКИ 5

43- 47

-ЕЬ 47

=ЕЬ 47

^-04 ж 47

—СИ 48

если проводилась.

В примере выключающий элемент не меняет своего знака во включающем периоде, следовательно, он является элементом дли­тельного действия, и модель, полученная по результатам первой проверки, остается без изменений, т. е. / (/С) = (е + /г)-т.

Третья проверка осуществляется для выявления ложных включений исследуемого элемента X во всей циклограмме. Сна­чала модель, полученная по результатам второй проверки, пред­ставляется в виде суммы слагаемых (если это возможно). Затем определяется значение суммарного весового коэффициента К₀ для каждого из слагаемых математической модели или для модели в целом (если она не может быть представлена в виде суммы сла­гаемых). Для этого каждому элементу слагаемого (или модели) присваивается свой весовой коэффициент. Первому элементу присваивается значение весового коэффициента 2°, второму — 2¹, третьему — 2², четвертому — 2³ й т. д. Сумма этих коэффициен­тов равна значению суммарного весового коэффициента К_с. Однако следует помнить, что при суммировании весовые коэф­фициенты элементов, стоящие в модели со знаком инверсии, в сумму не входят.

В примере модель / (К) — {е + к)-т можно представить в виде слагаемых, т. е. / (К) — (е + /г)■ т = е-т + к т. Присвоим весо­вые коэффициенты элементам каждого слагаемого:

е т и & т 2°; 2¹ 2°; 2¹.

Рис. 107. Схема управления нереверсивным электродвигателем

Тогда суммарный коэффициент для каждого слагаемого будет равен единице, т. е, К_с — 1. так элемент т имеет знак инверсии.

Теперь необходимо записать ряд весовых коэффициентов циклограммы для каждого слагаемого (или модели в целом). Коэф­фициенты пишут под каждой буквой циклограммы. Значение первого коэффициента зависит от того, с каким знаком приходят включающие и выключающие элементы к концу циклограммы, т. е. включенными или выключенными. Если они выключены, то в сумму первого коэффициента идет нуль и ряд начинается с нуля, а если включен хотя бы один, то в сумму идет значение коэффициента этого элемента. Получим:

О + Е + К —ЕЛ- М—К — М