Файл: Ямщиков В.С. Геоакустика. Раздел Упругие волны в неоднородном массиве [учеб. пособие].pdf

I

■

о

V

Выберем в качестве рассеивающего объема

куб

с реб­

ром

ß

,

существенно

большим радиуса

корреляции

а.

случайных

функций параметров

среды ( ß »

а ).

V ,

Поток

энергии

первичной волны,

падающей на

объем

1 = 1 /

S *

(У.72)

0

0

7

где

1/а

-

энергия

в

падающей волне.

,

Полная энергия,,

рассеянная

объемом

у

* r

= £ i / f c £ s ,

(у*73>

где

£/.

-

энергия

рассеянных волн,

т .е .

волн

первого

прибли­

жения.

Интеграл

берется

по поверхности

сферы радиуоа R o ,

Коэффициент рассеяния упругой энергии выразится следующей

формулой:

г

2Я

ЛГ6

о6Р ==АТ - =

T r f * I

d ! f J

Ur s£n

Q

d Q ,

(У.74)

i f

Q

*о

40°

о

о

где

н

-

координатные

углы сферической системы коорди­

нат.

зом:

Упругая энергия

в

твердом теле выражается следующим обра­

6 *j« * ~ 2 Я&** <

С

»

(У ■-75)

где

6/Л

и

£ t r

-

компоненты деформаций;

S*K S* р

- функции,

комплексно

сопряженные

с é . p

и

<5г г .

В

первом

приближении

v- G j(i .

•

Взяв статистиче­

ское

среднее

от

V

в (У.75)

и отбросив статистические моменты

третьего

порядка,

получим

(У.76)

(*

О

С

*

7<Г\

-

г г ) *

л

*.> -**:

Так как статиэтическая связь между значениями случайных

функций â"ji, â ^ u ,

â jo

существенна только на расстояниях поряд­

ка

радиуса корреляции

а

, а в

рассматриваемом случае расстоя­

ние

от точки

наблюдения

сск

до

рассеивающей области

значитель­

но

больше а. ,

то выражения fy j е ‘%,

& л £ 0>

равны нулю.

'

"*

’

ът ’

Лв

Поэтому в рассматриваемой нами зоне

Фраунгофера

(У.77)

Упругая

энергия

первичной волны

£/

определится следую­

щим

образом:

— Го) »(о)

J — (о) «(о)

i r ^ j u ö

6 + - § - л & е

•

(У.78)

в

У

4

К

2

*

г г

f>f>

Среднее статистическое значение упрутой энергии, рассе­

янной областью У

,

в

точке

наблюдения

имеет вид

U,

— „ <*)

-('>

1■2

i - J sг г” -

.О)

(7.79)

■* 6JK

Для получения в

нашем случае

значений

Ua

и

в явном

мулам теории упругости выразить компоненты деформации

6

,

<^г і £

через

значения

смещений ѵ-

( д ^ ) , которые

опреде­

ляются по формуле

(У .70),

и полученные

значения деформаций под­

ставить в формулы (У.78)

и (У .79). Эти

операции были проделаны

в работе

[ ЪЪ J ,

в которой были найдены выражения для энергии

1/0 и С/г .

При этом было получено, что

значения

С/в и

t/f

за­

висят от величин

f * ) =

/ ” ( ? " )

,

K0I0~

4 ( К . К ) - & & > * / ■ ( & ’ 3- ( W

- * л

4 , ( Ъ £ ) - * * ( К > * ю ; вЖ . О - * у ( № Ф -

Причѳн, если поля случай

их функций &Л ,

f y t , âj> однородны,

корреляционные функции в

(У.ѲО), а следовательно, ті

будут вавиоеть только от

разности

координат двух точек: f " и

К . т -ѳ-

Z . - f t . t P - ' L O p’

О -

ивяной * = > £ £ : •

'

B j (г )^ В -(о у е

В.к (г )= В ^ (о )е а\ (у .8І)

(о)

ѵ[°ІЛ2е і(аіі~'ЛіХ,); гг/'Lо.

(У.82)

Ц

-О -,

Подставляя (У.82) в выражение

(У .7І),

найдем

Ь г гк‘ Ъ иггАле*,*‘;

h ~ o ;

А

Далее,

выражая [ 35 ]

функции

через

корреляционные

функции

В.

и ^3.Я)согласно

(У.79)

находятся

выражения для

U, -

анергии рассеянных

неоднородностями

волн.

Энергия падающей волны в рассматриваемом случае опреде­

ляется

следующим образом:

и -

/

— г

л ■

(У.83)

2 '/ j к5

А -.

Далее, подставляя полученное выражение для ££ в

(У„83) и

В (У.74) и выполняя интегрирование по

У> и

Я

, можно полу­

чить значение

коэффициента

рассеяния

.

В частном случае для крупномасштабных неоднородностей

среда

, ks а » і

) получено

/

35 ]

аёсог\/ж Г 3^(0)

г

(У.8'і)

* г =

/

С *В* < °)-2 £ г> (?>].

В случае

мелкомасштабных неоднородностей

( / с «

« /

К о ,«

О

ыг ~

60(Л + 2 / j ) zl

Op

1

Р s

( у / б 5 )

- Таким ае образом можно получить выражения для коэффициен­

та рассеяния упругих волн ос

для плоской продольной волны

/ 35 І ,

В этом случае нулевое

приближение для

компонент смеще­

ния запишется следующим образом:

(о/

> ч

=0; %

- о ,