Файл: Ямщиков В.С. Геоакустика. Раздел Упругие волны в неоднородном массиве [учеб. пособие].pdf

ней

3 °

иакрообъѳма л

V

,

т .ѳ .

средняя

по

плоскому сечению

среды.

F = ~Гл7- / Р- '■п і d S

- результирующая сила,дей­

‘

3 %

у

/

ствующая на жидкость на внутренних

поверхностях

раздела

жидкой и твердой фав в

объемел Ѵ ;

p'£j

- оредяее фазовое

напряжение

жидкости на

поверхности

грани;

п

-

компоненте

вектора нормали;

т

-

пористость.

Аналогично можно получить уравнения нѳраарывнооти и со­

хранения

импульса и для твердой фазы;

£ [ а

\ и- 12)

эт[л('-гп)ч Ь А .[а ('-'п)ч

(у-'п)9г°>

L

J

d

U.13)

где

Ui

- средняя окорость смещения твердых частиц; J 3^

их средняя

плотность;

- орѳднѳѳ

напряжение^

в

твердой

фазе.

Суммируя уравнения ( І . І І )

и ( І .І £ ) ,

получим уравнение

неразрывности импульса во

всей среде в целом:

[ л

( < - r ~ ) u £ +/>а ~

щ ] +

£ - [ - г у

+ А ( '- ”

) ч и/ {1ЛК)

где

+ А m

ш/ ] ~ [/>t ( f ~ 7r* ) + A rn] ? i m‘ 0 ’

7) . =

( f — г™ )

*■

m

р

- суммарное (полное)

напряжение, действующее на поверхности иакрообъѳма л V , ко-

торое было

определено выше равенством ( І .б ) .

Это суммарное

на рассматривании

сечении.

Согласно теории Жуковского, силы вявкоотного сопротивле­

ния в жидкости сводятся к-эффективной

силе J?{ , пропорцио­

нальной относительной

средней скорости

по-.ока кидкооти:

R

_

■?

- m ( / - гг, ) ( иг. ~ и £ у f

а

где

£ - вязкость

жидкости; а*“ Я <»-” ѵ

- коэффициент

гидравлического

сопротивления

среды;

-if -

проницаемость сре­

ды.

Тогда уравнение сохранения импульса в жидкости примет

вид

гіГ;

ff иг,-

Р

f- + Р, w . — -‘ =

a x ',

»

(I .I5 )

Р г s t

-t* d e x -

где

. - J S l + J L

PJZL

r

t

гтъ

Гтг

f f X ;

Уравнение

( I . 15)

соответствует

случаю,

когда

жидкость,

рой нет касательных напряжений.

Если вычесть из

уравнения полного

импульса

( І .І 4 ) урав­

нение относительного

движения жидкости

( І .І 5 ) ,

то мы получим

уравнение относительного движения твердой фазы:

d

-л ч Щ )~

d ( і л ё )

& / = ( / - * т г ) ( ( з у + р ^ у )

(I .I7 )

Q

(частицы

окружены со

всех сторон

жидкостью,

давление

в

которой

одно

и то же),

то между

час­

тицами

нет

взаимодейст­

вия, т .ѳ . сила, сжимаю­

щая пружинку, равна пу­

лю. Таким образом, сжи­

мать пружинку, т.ѳ,- соз­

давать

взаимодействие

между твердыми части­

Рис.

I .

Модель двухфазной пористой

цами среды

(скелетом),

ореды

будет разностная

сила

б г - -

(I

- г л )

(& у

называемая фиктивной

и опре­

деляющая

различие в фазовых напряжениях, Слѳдоватѳльн

, G y

является

силой,

вызывающей

относительные смещения твердой

фазы,

/

'G y ( f - r n ) - s > n â y = б у - p d i j

( f - т

) G y ~ G y - (<~ггг)р <?y .

Таким

образом, твердые

частицы в

пористой среде

воспри­

нимают на себя нагрузку

(I

- fT l) G y

, часть

которой,

равная

( - / ) ( І - г п ) р

уравнове .иваѳтся

подпором

со стороны жид­

кости,

а

часть .равная величине фиктивного напряжения

G y

,

воспринимается силами, препятствующими взаимным смещениям

твердых

частиц,

т .ѳ . силами в точках

контакта частиц,

и овя-

аи с этим плотность твердой фазы является функцией первого

инваріанта

0 = G ,/

-t-G^z

GJ3

тензора напряжений.

Примем, что плотности

твердой фазы .. жидкости изменяют­

ся по линейному закону,так

как

ш

не

будем рассматривать

боль­

ших изменений напряжений.

_ А Л І _ А .

'

)+ А ( Р -Р о )-, (Г.І8)

/ » '

j

Ѵ -™

А - а

’+а ' ;

Ѳ = ~ д /> + Ѳ * ( < - п г ) ~ * .

Бдѳсь

Ѳ -

первый инвариант тензора финишных напряжений;

ß f -

коэффициент объемного ожатия твердой фавы (постоянная

Для жидкооти справедливо

а; - А ( Р - Р о ) ,

( I .I9 )

т

у гг*.

l / . - U £ +1/£

Ѵ Г і-и Г і

у иг.

р,= ро + р ;

ъ - ъ + ъ ,

е

где т о » m

' ,

р 0 »

р [ . . . .а

величины Иі

, А

—

одно­

го порядка или еще более малые величины по сравнению с

6/t- ,

.

Подставим выражения (I .I8 )

и (I .I9 ) в

уравнения непрерыв­

ности (І.ІО )

и

( І .І 2 ) .

Пренебрегая величинами второго

порядка

малости и величиной ß

,

ччо для ѳстѳотвѳнпых грун­

тов и горных пород практически всегда возможно,

получим урав­

нения нѳразрывнооти для твердой и жидкой фаз:

л /

я

g £

У f *

р/ OZ

(<~ТГго ) а х . ;

( 1.20)

а t

<9 m

аит,.

a t

а х

’