Файл: Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 88
Скачиваний: 0
Cl)-
Последний питегрял подстановкой yg- —t сводится к гам
ма-функции
со |
|
б2 П4л-3 |
|
|
|
1В dm = |
\ |
f 2 <?-f At |
|
|
■— |
|||
0 2 2 1 « - 3 ^ ( 2 п. + 1\ |
о-' 24п~3 ^ |
|||
]/“ |
[ |
2 / - |
|
] / Т ~ Х |
х (2/г — 1) (2п - |
.3) •, . . •5 ■3 •1 |
в 3* . 2з„_з х |
||
X (2п - 1) |
•(2/1 - 3 ) - . . . - 5 - 3 - 1 < + оо |
|||
при любом конечном /г. |
|
|
Процесс в) |
не дифференцируем, так как интеграл |
|
j”ш-’ (ш) dw |
ю- dm |
т2 dm |
а' + (Р + С0)2 + |
а- (от — т)2 |
|
—оо
расходится.
Вопросы для самоконтроля
1.Что называется спектром колебательного процесса?
2.Какой стационарный случайный процесс имеет дискрет ный спектр?
3.Каким условиям должна удовлетворять корреляционная функция стационарного случайного процесса, чтобы его спектр был дискретен?
4.В какой форме представим стационарный случайный процесс с дискретным спектром?
5.Что называется спектральной функцией стационарного случайного процесса? Какими, свойствами обладает спект ральная функция?
6.Какой стационарный случайный процесс имеет непре рывный спектр?
7.Каким условиям удовлетворяет корреляционная функ ция стационарного случайного процесса с непрерывным спект ром?
8.Что называется спектральным разложением стационар ного случайного процесса с непрерывным спектром?
120
9. Какая существует связь между корреляционной функ цией и спектральной плотностью стационарного случайного процесса с непрерывным спектром?
10.Каково энергетическое истолкование спектральной плотности случайного процесса?
11.Перечислите свойства спектральной функции стацио
нарного случайного процесса с непрерывным спектром.
12.Каково энергетическое истолкование ^спектральной функции случайного процесса?
13.Как найти спектральную функцию стационарного слу чайного процесса с непрерывным спектром по его корреля
ционной функции?
14. Что называют нормированной спектральной плот ностью стационарного случайного процесса и какова ее связь с нормированной корреляционной функцией?
15.Каковы характерные особенности нормированной спек тральной функции стационарного случайного процесса?
16.Какой случайный процесс называется узкополосным? широкополосным? В чем состоят характерные ' особенности
узкополосного и широкополосного случайных процессов?
17.Что называют «белым шумом»?
18.Какая существует связь между спектральной плот ностью процесса £ (t) и «теснотой» статистической связи раз
личных его сечений £ (/,) и £ (12)? |
: |
19.Какая линейная динамическая система называется стационарной и каким оператором описывается работа ста ционарной системы?
20.Как определяется спектральная плотность процесса на выходе дифференцирующего устройства по известной спект ральной плотности воздействия на это устройство?
21.Сформулируйте необходимые и достаточные условия
дифференцируемости стационарного случайного процесса
спомощью его спектральной плотности.
22.Что называют передаточной функцией стационарной линейной системы?
23.Что называют частотной характеристикой стационар ной линейной системы? Как определяется частотная характе ристика по оператору линейной системы?
24.Каково физическое истолкование квадрата модуля частотной характеристики линейной системы?
25.На вход стационарной линейной системы поступает стационарный случайный процесс £ (t). При каких условиях процесс д (7) на выходе системы будет стационарным?
26.Как определить спектральную плотность отклика стационарной линейной системы по спектральной плотности воздействия?
121
27.Как вычисляются характеристики реакции стационар ной линейной системы по характеристикам входного воздей ствия на систему?
28.По какой формуле можно вычислить дисперсию реак ции стационарной линейной системы?
29.Что называют полосой пропускания линейной системы
вэнергетическом смысле и как она определяется?
Упражнения
1. Нормированная корреляционная функция г£ (х) ста ционарного случайного процесса 5 (t) задана выражением
|
1 - |
|
при |
I X I < х0 , |
|
. |
О |
при |
|х |> |
0 , |
|
Найти нормированную спектральную плотность |
(и). |
||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
°е Н |
“ |
— |
--V (1 ~ |
cos <ох0) . |
|
|
|
ivTaШ2 |
|
|
|
2. Спектральная функция стационарного случайного про цесса 5 (t) задана выражением
D |
arctg |
ш — 8 |
ш - 4 - 0 |
Si (*) = |
-------- — -j- arctg |
-------- — |
Найти спектральную плотность и корреляционную функ цию процесса £ (t).
Ответ:
, ^ |
D Г |
а |
а |
W |
w |
«Я + ( Щ_ (3)2 + а2 + |
+ (3)2 J ’ |
К% (х) = De~* zI cos (Зх .
3. Корреляционная функция стационарного случайн процесса задана выражением
. К ф ) = D e ~ ^ . ■
Определить спектральную . плотность . и спектральную функцию процесса.
122
Ответ:
• , |
|
' |
D |
|
|
|
4aJ |
S' (со) — ------- = |
|
|
|||||
|
|
2a |
|
ч: |
|
|
|
s g(со) = |
D |
Ф |
|
(O |
|
+ l |
|
|
|
a У |
= |
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
||
где |
|
|
X |
_ |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ф (x) = |
~ f = |
C |
« |
2 |
d t . |
||
/2 « Jо
4.Навход идеального фильтра с частотной характеристи
кой
|
« ( ; » ) = |
( |
с |
при |
|ш |> |
ш0 |
|
|
|
||
|
|
|
{ |
0 |
при |
|
|
|
|||
поступает стационарный случайный процесс |
£ (t) |
с математи |
|||||||||
ческим |
ожиданием |
тс — 2 |
и |
корреляционной |
функцией |
||||||
/Се(х) = |
%е~№. |
Определить математическое ожидание и дис |
|||||||||
персию процесса на выходе фильтра. |
|
|
|
|
|||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ту = 2С ; |
Dn — |
С2 |
|
|
|
|
||||
|
-------arctg ш0 . |
|
|
|
|||||||
5. На вход фильтра с частотной характеристикой |
|||||||||||
|
|
Ф (гео) = 1 |
I |
|
|
|
|
||||
|
|
-f «о |
|
|
|
|
|||||
поступает стационарный случайный процесс |
£ (t) |
|
с матема |
||||||||
тическим |
ожиданием т? |
= |
1 |
и |
корреляционной |
функцией |
|||||
Къ (х) = 4е~2'~К |
|
|
|
|
|
|
|
(t) |
|
|
|
Определить |
характеристики |
процесса |
па |
выходе |
|||||||
фильтра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/7^ = 1,. |
К , (т) |
= |
- 1 |
(2е-М _ e-»M), |
Д. |
= - 1 . |
|||||
6. |
Электрическая цепь состоит из источника напряжения и |
||||||||||
последовательно включенных индуктивности L и сопротивле |
|||||||||||
ния R. Напряжение представляет собой |
белый |
шум, спек |
|||||||||
тральная плотность которого равна go- |
' |
|
|
|
|||||||
123
