Файл: Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов.pdf

F2[x{, x2\ t u U) = | j j f s(x i> * 2. -V- *i. (2, t3) d x ldx3dx3, (8)

так как многомерные плотности распределения вероятностей и многомерные функции распределения случайного процесса f; (/) обладают всеми свойствами этих вероятностных харак­ теристик многомерного случайного вектора, я-мерная плот­ ность распределения вероятностей (или я-мерная функция рас­ пределения) случайного процесса является тем более полной характеристикой, чем больше я. Но для полной вероятностной характеристики произвольного случайного процесса необходи­ мо знать все его я-мерные законы распределения, что практи­ чески в общем случае неосуществимо, так как в любом конеч­ ном промежутке Т времени t можно рассматривать как угодно много сечений этого процесса и, следовательно, как угодно большой размерности случайные векторы и их законы распре­ деления. Оперировать многомерными функциямираспределе­ ния (при я > 3) чрезвычайно неудобно. Поэтому наиболее изу­ чены те случайные процессы, для полного описания которых достаточно знать только двумерные и одномерные законы рас­ пределения. Это весьма важные в прикладном отношении та­ кие случайные процессы, как марковские, нормальные случай­ ные процессы и процессы с независимыми приращениями;

В заключение вернемся опять к рассмотренному в § 1 при­ меру и найдем закон распределения случайной гармоники с независимыми случайными амплитудой и фазой и фиксиро­ ванной частотой.

Пример. Найти закон распределения случайного процесса

£ (t) = A cos (и>/ -(-» ),

где со — не случайно, tp — случайная величина, равномерно распределенная в интервале (0; 2z) и А — случайная вели­ чина, распределенная по закону Рэлея с плотностью распре­ деления вероятностей

причем А и <р — независимы.

9

Решение. Найдем плотность распределения вероятностей случайной величины

и плотность распределения гармоники со случайной фазой и постоянными амплитудой и частотой не зависит от времени t. Поэтому f 1(х; t) тоже не будет зависеть от t. В силу независи­ мости случайных величин Л и ® будут независимыми и слу­ чайные величины Л, т). Следовательно,

Найдем плотность распределения процесса £ (»') -=* Ац.:

10

fj (t) — A cos (со£ -f- w.)

имеет нормальное распределение

U

§ 3. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Знание /i-мерного закона распределения случайного про­ цесса £ (Л позволяет получать тем большую информацию о нем, чем больше п. Но если процесс £; (t) встречается при ре­ шении различных задач, возникающих в реальном мире, то ис­ следователь в общем случае не располагает достаточной ин­ формацией о всех его многомерных законах распределения, и никакие эксперименты не могут дать такую информацию. Кро­ ме того, многомерные законы распределения процесса (если даже они известны) мало пригодны для решения прикладных задач. Для большинства важнейших приложений теории слу­ чайных процессов к физике и технике не требуется знать мно­ гомерные законы распределения процесса. Для полного реше­ ния весьма обширного класса таких задач достаточно знать только моменты первых двух порядков случайного процесса £ (t), которые будем называть основными характеристиками случайного процесса.

Та часть теории случайных процессов, которая основана на изучении только первых двух моментов (начальных и цент­ ральных) процесса с (t), называется корреляционной теори­ ей случайных процессов. В этом пособии будем изучать случайные процессы только в рамках корреляционной теории.

Введем основные определения этой теории. Пусть £ (t) — произвольный случайный процесс. Рассмотрим сечение процес­

чим

« е (о = т с о .

Так как момент t произвольный, то /?и (0 будет неслучай­ ной функцией аргумента t.

Определение 1. Математическим ожиданием случайного процесса £ (t) называется такая неслучайная функция (t), которая при каждом значении аргумента t равна математиче­ скому ожиданию соответствующего сечения процесса £ (£).

Если известна одномерная плотность распределения веро­ ятностей процесса fi( х\ t), то его математическое ожидание определяется по формуле

0 )

и