Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf

-ІЮ -

§30. Новая интерпретация евклидовой геометрии

Отметим следующее важное положение. Б конце § 5 цити­

рассматриваемой как место прямых, будет геометрией евклидо­ вой плоскости. Принимая во внимание замечание, сделанное

Таким образом, геометрия первого рода развертывающихся поверхностей есть геометрия евклидовой плоскости, рассматри­ ваемой как многообразие своих прямых. Тем самым имеем свое­ образную новую интерпретацию евклидовой геометрии.

§ 31. Случай абсолюта, состоящего из пары действи­ тельных плоскостей

В §§ 17-30 абсолют предполагался распавшимся на перу комплексно-сопряженных плоскостей.

3 настоящем параграфе абсолют предполагается распавмимся на пару действительных плоскостей. Так как геометрия пространства с подобным абсолютом строится аналогично слу­ чаю, рассмотренному в §§ 17-30, то мы ограничимся указанием лишь тех полохѳний, которые являются специфическими для данного случая. Во всем остальном мы ссылаемся на §§ 17-30.

х) Борден А . П . , Обобщенная геометрия двумерного линейчатого пространства ; Мат. сборник, І8 (60 ):Г, 1946, § I .

- I l l -

нием

X'}) '■ - X .у = о ,

где у* - однородные координаты точек полярной плоскости.

где С , 'Jj - действительные точки пересечения прямой ЛЪ с плоскостями со/ , co^ ,а 4t - постоянное, которое можно поло­

жить равным А . , при действительном Я ,и нормируя одно-

%с

родные координаты х** точки пространства так, чтобы было

Имеем следующие особенности для расстояний: I) Ка вся­ кой прямой, не пересекающей оси абсолюта, устанавливается гиперболическая метрика; 2) если пряная пересекаеі ось абсолюта, расстояние между точками х“ , у01 равно нулю в случае, когда ни одна из них не лежит на оси абсолюта; расстояние между ними становится неопределенным.

из -

в многообразии а.', ц* две геометрии аффинной связности без кручения, которые назовем внутренними геометриями поверхности І-г о и 2-го рода.

Б символах ковариантного дифференцирования І-го и 2-го рода основные уравнения ( б ,31) поверхности имеют вид

есть условие Гаусса ; оно аналогично условию, которое при­ водится у Бианки (§ 484, ст р .577), но здесь роль дискри­ минанта первой основной формы поверхности играет і* - ; (8,31) - условие Петерсона - Кодвцци.

Из (7,31) следует, что для развертывающихся поверхно­ стей, характеризуемых условием £■=о »кривизна т . е . равна кривизне пространства.

Во всем остальном (с несущественными модификациями) мы находимся в условиях материала §§17-30.

В частности, имеем следующий важный результат: геомет­ рия І-го рода развертывающихся поверхностей есть геометрия евклидовой плоскости, рассматриваемой как многообразие своих прямых.

§32. Конгруэция

Квопросу о конгруэнции, связанной с поверхностью

- II4 -

можно подойти и с несколько иной точки зрения. Мы коснемся этого вопроса весьма кратко.

Под прямолинейной конгруэнцией в пространствах с распа­ давшимся абсолютом будем понимать всякое многообразие пря­ мых, к которым отнесены взаимно однозначно два параметра

u', té- . Мы будем считать конгруэнцию заданной с точностью до проективного преобразования пространства, оставляющего аб­ солют неизменным.

С каждой конгруэнцией можно связать поверхность

где к - нормированные однородные координвты точки про­ странства, n 'f и.1 - криволинейные координаты на поверхно­ сти. Точки этой поверхности (опорной поверхности) можно поставить во взаимно однозначное соответствие с прямыми конгруэнции; опорная поверхность конгруэнции выбирается с точностью'проективного преобразования пространства.

Примером конгруэнции, определенной выше, является много­

(§ 2 6 ). Эта конгруэнция гармонична поверхности ( § 26).

Необходимо указать признак, по которому конгруэнция определяется с точностью до проективного преобразования пространства. С этой целью мы воспользуемся цитированной работой Нордеьа ^Обобщенная геометрия двумерного линейча-

х) Хатипов А .Э .-А . Теория конгруэнций в пространстве с распа­ дающимся абсолютом; сборник "Исследования по обыкновен­ ным дифференциальным уравнениям"; иэд»"Фав",Ташкент,1967.

- II5 -

мейством прямых. Точкой на данной прямой называется вектор заданный на данном элементе при условии, что векторы ,

ность, рассматриваемая как непрерывное многообразные элемен­

и опорной поверхностью вытекает, что конгруэнция также при­ надлежит к<кшу пространств S a .В частности, семейству прямыхѵЖнеХчатая поверхность конгруэнции. Поэтому на геомет­ рию І-го рода и конгруэнцию (обозначим ее через S4 ) распро­ страняются все те результаты, которые установлены Норденом

относительно которой коэффициенты связности принимают такой

так как вместо формулы (34) Бордена в данном случае имеем формулу (7 ,2 4 ), то вместо формулы (41) будем иметь формулу

(5,32)

В упомянутой работе Норден устанавливает, что простран­ ство у б у д е т проектйвно евклидовым, если его кривизна зависит только от потенциала У основного вектора су. .Этот результат для опорной поверхности имеет следующую формули­ ровку: опорная поверхность будет облѳдать.проективно евклидо­ вой геометрией І-го рода, если ее внутренняя кривизна есть функция только су :

К. = К?с <S) ■