Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 85
Скачиваний: 0
|
|
|
|
|
- |
8 - |
|
|
|
|
_ -Л .-Сі- |
|
|
, |
|
|
|
|
|
2 І |
z 3 |
|
|
* 1 |
Z l |
Ъ с 0 - 0 |
|||
|
= 7чI 3 , |
\ |
з 3 |
|
|
z , |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ч |
Э 4 |
|
|
|
Ч |
э » |
|
|
|
||||
Уравнение плоскости, проходящей через три точки |
|
|
||||||||||||
(•г і , |
Z L , |
2 |
, ) |
, |
С |
- t ,, -tt |
, |
) |
в |
аффинных коорди |
|
|||
натах |
или три |
точки |
|
имеет*■ I |
*■*вид:У- J |
' ( ^ Л |
А Л ) |
|||||||
в однородных*1 * » . координатах* } і |
= О . |
|
( I I ,I ) |
|||||||||||
|
3,Іі |
|
**и» ^** |
I* |
= 0 |
» |
Э|±, |
|
э, |
|
||||
|
*» |
|
2‘ |
V |
, |
|
|
Z, r t |
Z , 2Ѵ |
|
|
|
||
Параметрические уравнения плоскости проходящей через три точки ( а ,,» ь , ь , , з у) , ( * Л , 2» А ) ,Л Л ^ » ^ * ) пР°о*ранства в однородных координатах имеет вид
f |
|
= \ \Л; ++ >гz/ |
* |
f |
(12,1) |
|
|
|
|
||
? |
|
г . |
|
|
|
Чч |
74,j) J + >«. Z» |
|
|
||
f |
|
|
|||
|
|
v -<• >3 Гу |
|
||
5 |
|
|
|
||
|
2 |
|
|
||
Параметрические уравнения прямой пространства, прохо дящей через две точки V ) И ( z, г , ,'7j ,Z V) в
однородных координатах имеет вид
у X, |
Т |
3, + |
) |
(13,1) |
у, *1 = %/й,-+ |
Z«-’ |
|||
9' |
- |
•*( jy ^ |
|
• |
Проективные координаты вводятся в порядке обобщения однородных координат. Проективная координата на прямой мохет быть введена при помощи понятия сложного отношения че-
-9 -
тр е х точек.х ^1Іо, как и выше, мы будем следовать методу изложения Ф.Клейна.хх^*
Пусть |
X |
есть |
аффинная |
координата |
точки на |
прямой. |
||||
Проективными координатами |
|
и- |
|
этой точки |
называ |
|||||
ются целые |
линейные1 |
функции |
у. : |
|
|
(м ;і) |
||||
|
|
|
"■ |
CLLI |
|
|
lLl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
лі,Х |
|
» |
|
|
|||
где |
|
1. ” |
ft.«. |
>- |
.&■ О |
|
(15,1) |
|||
|
|
|
|
»И. |
|
|
|
|
||
иf f 0 •
|
Согласно (1 4 ,1 ), |
каждой собственной точке |
х |
(аффин |
|||||||||||||
ной координате х |
) |
соответствует |
пара |
проективных |
коорди |
||||||||||||
нат |
х ( , х^.Так |
как |
из |
(1 4 ,1Л),-П. обратно, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
или |
|
X, |
_ Л.<Х + |
|
|
I *> |
ла. I |
|
|
|
|
||||||
|
к ь |
4іг. Лі —Л/tXi |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
lÄ" CM |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
- |
л и», |
|
1<III |
|
|
|
|
|
|
|||
то из последнего равенства следует, что каждой паре значе |
|||||||||||||||||
ний |
х (, |
* г ,за исключением |
|
значений о,о,соответствует одно |
|||||||||||||
значно |
некоторое |
значение |
|
х |
(точка). Для |
значений |
<*■,,,аи |
||||||||||
соответствует несобственная |
|
точка |
прямой. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Таким образом, проективные координаты, как однородные |
||||||||||||||||
координаты, определяют |
все |
|
точки проективной прямой. |
*,/>. |
|||||||||||||
Им |
Рассмотрим точки с проективными координатами |
|
|||||||||||||||
соответствуют |
точки |
|
|
|
и |
* = |
- ^ |
|
. |
Эти |
точки, |
||||||
согласно (1 5 ,1 ), отличны друг |
от друга. Они называются фун |
||||||||||||||||
даментальными точками |
-М-і |
и А , и,согласно |
(1 4 ,1 ), |
опреде |
|||||||||||||
ляются |
проективными координатами |
о,і |
|
и |
I, |
0 |
.С о гл а сн о (І5 ,І), |
||||||||||
х) |
А .Э .-А .Хатипов, |
Курс аналитическо й |
геометрии, ч.В; изд |
||||||||||||||
хх) |
СаыГУ, Самарканд, 1969, стр.260, |
I |
183. |
|
|
|
с т р .15 |
||||||||||
Ф. Клейн, Неевклидова геометрия, |
Москва, 1936, |
||||||||||||||||
фундаментальные |
- |
ІО - |
|
|
|
||
точки |
не могут совпадать . |
|
|||||
a.tl= |
Рассмотрим |
следующий честный |
случай, |
когда а ,г = аѵ = о , |
|||
|
a . ^ - i |
. В этом |
случае фундаментальная точка ^ с о в п а |
||||
дает с началом координат, так как |
к = |
как |
:а.|( = о ; / ; |
||||
точка |
« Д і становится |
несобственной, так |
х* |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, однородные координаты являются специальным случаем проективных координат, именно случаем, когда одна из фундаментальных точек сдвигается в бесконечность.
Наконец, отметим случай: = * * ; тогда
или |
, |
л„ *. ■+■cifj, = |
+ л«.г. |
|
X - |
~Г |
' |
||
|
|
|
С1,А _ |
|
ß-h —G-Zt
Такова аффинная координата точки с одинаковыми проективными
координатами. ЛЭта, |
|
точка |
|
называется |
единичной точкой |
£ |
.За |
|
данием точек |
, |
JLt |
и |
£ |
проективные координаты |
определя |
||
ются однозначно. |
|
|
^ |
^ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Теперь перейдем к введению проективных координат на пло скости. Они определяются как линейные функции аффинных координа т ж , •
f |
■*/ |
= |
а . , , * - f C L , I |
у + |
<*ц-> |
|
||||
у |
>-з |
= |
л „ |
+ 4 l t 5 + |
я ± і, |
|
||||
f |
^ |
-о |
|
|
|
|
||||
где |
|
a ,< |
Я.Ц °-И |
Ф о . |
|
|
||||
|
|
|
|
b i } |
|
|
||||
|
|
& -XI |
|
ftjt |
Л33 |
|
|
|
|
|
Из (.16,1), |
|
л гі |
|
имеем |
|
|
||||
согласно |
|
(1 7 ,1 ), |
|
|
||||||
*-/ |
& 4 L |
|
a , , |
|
j |
|
jft-i, |
X , Л<3 |
j |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
« ч Л |
|
|
1 О- l l |
|
ІЛ ,3 |
|
|
|
|
|
В-ЗЗІ |
■и _ |
1 С .,, |
' 3 |
й . »» |
1 |
||
|
|
|
si, |
|
]• |
• J |
|
|
|
|
|
•N i |
|
1 |
|
' |
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
А и |
• ' n |
* 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
« 3 , |
|
|
|
|
|
|
1 ‘- - 'I |
‘ Ч |
. ’ 4» ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(16,1)
(17,1)
Прировняем |
|
II |
- |
|
нулю каждую из трех функций ( 1 6 ,1 ) . .'fa ' |
||||
получим три прямые |
т , |
, |
. / |
|
|
|
|
|
Чу*< |
‘ 4 |
+■ Л (і_ Ij *■ |
|
-і О . |
|
«•ii- - Л<--) *• |
|
(18,1) |
||
СЦ, ,s |
•*■ |
г |
л |
и - о . |
которые называются фундаменталышми прямыми проективного определения координат. Эти прямые определяют треугольник,
так как, |
согласно (1 7 ,1 ), |
они не проходят через |
одну |
точ |
||||
ку . Вершины |
|
этого |
треугольника имеют координаты |
|||||
>с>!■>0 |
') |
• Задавая еще единичную точку |
£ |
(с |
коор |
|||
динатами |
*, = |
/..•= xj ) , которая может находиться |
как |
внут |
||||
ри, так и вне фундаментального треугольника (она |
не |
долж |
||||||
на принадлежать фундаментальным прямым |
*■,, |
|
|
в си |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лу приведенных формул мы отнесем каждой собственной точке плоскости в соответствие определенные проективные коорди
наты |
и , обратно, каждой тройке |
проективных |
координат X ,, |
(одновременно не равных |
нулю) -опре |
деленную собственную или несобственную точку плоскости. Если мы возьмем в качестве прямой бесконечно удален ную прямую, мы получим однородную систему координат (это доказывается как в случае прямой линии) ; так что сисіема однородных координат на плоскости есть система проектив ных координат, в которой одна из фундаментальных прямых совпадает с бесконечно удаленной прямой плоскости.
В случае пространства в основу проективной системы координат мы должны положить некоторый тетраэдр и неко торую точку, принимаемую за единичную; так что простран ственная проективная система координат определяется пятью
точками, из которых никакие четыре не принадлежат одной плоскости. Введением в пространстве проективных координат исключается особое положение несобственных элементов.
§ 2 . Проективные свободно-аффинные и центрально аффинные преобразования .
Пусть о Ж, , *г , X, , |
, *3 |
И |
X, , **, *3, "Г - одно |
родные координаты соответственно |
на |
прямой, плоскости и |
|
