Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 20.07.2024

Просмотров: 91

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- IO I

-

ческих линий поверхности (§ 16).

.Мы видели,что геометрия

І-го рода является эквиаффинкой

(§ 2 4 ). Но извести? (§ 16),

что гетмеоия, сопряженная данной

эквиаффинной геометрии, является эквиеффикной геометрией, если тензор базиса удовлетворяет условию Пзтерсона-Кодацци ( § 1 6 ) . Так как в данном случае это условие удовлетворено, то при­

ходим к заключению, что геометрия 2-го

рода является эквиаффин­

ной. Отметим, что так как с?;,согласно

(5 ,2 4 ), определяет в

геометрии 2-го рода поле абсолютно параллельных векторов, то

сопряженное ему

направление X : определяет в геометрии вто­

рого рода поле

абсолютно параллельных отправлений .

§ 20. Последовательности направлений, поля и сети на поверхности; конгруэнции, связанные с по­ верхностью; развертывающиеся поверхности ко-

груэнций

Названные вопросы на нормализованных поверхностях рас­ смотрены Порденом в §§ 7-9 цитированной рабоіы.х) Все ре-

•зулыаты установленные Нордеком в этих параграфах, приме­ нимы к рассматриваемой нами поверхности (она нормализован*, по Нордену). Поэтому мы, не повторяя эти результаты, ссы­

лаемся на §§ 7-9 цитированной работы Вордена.

§ 29. Поверхности с внутренней проективно евхлидовой геометрией

Скоуте5х^иазывает проективно евклидовой такую геомет­ рию, которая допускает непрерывное отображение своих геоде-*х)

х) Порден А .П . О внутренних геометриях поверхностей проективного пространства; Труды сем. по^вект. и тенз.

анализу, вып.УІ; 1948, §§ 7 -9 , ст р .І8 2 -І9 І»

хх)

,

2>t1

И

toe

L—f a h l . finden,

,1924, гл .ІУ , § 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

102

-

 

 

 

 

 

 

з и ч е с к и х

н а

п р я м ы е

е в к л и д о в а

п р о с т р а н с т в а

ч

и с л а

и з м е

р е н и й

) .

Л л я

с л у ч а я

д в у

х

 

и з

м е р е н и

р

а к т е р и з у ю щ

е е

т а

к у ю

г е о м е т р и ю

и м е

е

т

в

и д

 

 

 

 

 

у “ '

( %

 

О ,

 

 

 

 

 

где R y - тензор Риччи.

Согласно теореме ^ельтрами,римаковѳ геометрия двух изме­ рения будет проективно евклидовой геометрией тогда и только тогда, если кривизна основной квадратичной формы

постоянна к

В работе "Обобщенная геометрия двумерного линейчатого

'пространства"хх)корден называет всякое непрерывное многооб­ разие с заданным в нем эквиаффинным перенесением векторов

пространством

,если

 

в нем существует ковектор

L та­

кой, что

VJ-

 

 

= 0 .

 

 

 

 

у.

 

у.

 

 

 

 

 

 

Элемент

 

 

1

называется

прямой,

а непре­

(^ ^ п р о с т р а н с т в а

Sjt

рывная

последовательность

элементов

и * ъ & \ и )

- семейством

пряных. Точкой на

данной прямой называется

вектор

TrL

задан ­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ный на данном элементе, при условии, что векторы, отличающиеся только скалярным множителем, определяют одну и ту же точку.

Предложенный Норденбм способ геометрической интерпретации пространства аффинной связности (определенного типа) является совершенно новым. Существенное отличие этого способе от обыч­ ных способов состоит в том,что основной элемент многообра­ зия считается аналогом не точки, а пряной линии евклидовой . плоскости.

 

Из сказанного о геометрии первого рода, следует,что

поверхность .р ассматриваемая как

непрерывное многообразие

х)

Ü .С.

,г л . ІУ , формулы

(14) и

(19).

%

 

хх)

Норден А .П ., Обобщенная

геометрия двумерного линейчатого

 

пространства ; матенатич.сб.,

18(60): I t Москва

 

1946.

- юз -

элементов і и \ и . 2) .принадлежит к типу пространств ,

причем в данном случае

в качестве прямой, соответствующей

элементу

можно взять ее нормаль, второго рода, а в

качестве

точки - точку

 

лежащую на нормали 2-го рода и соответствующую вектору і г 1, заданному в іи.\и.) . Поэтому на геометрию первого рода ' распространяются все те результаты, которые устанавливаются Норденон для геометрии пространств .В частности, на по­ верхности можно установить.так называемую "нормальную" систе­ му координат.

относительно которой коэффициенты связности принимают вид:

J

tt -

- о ,

:-Р.

(1,29)

где Р -скалярная

функция

двух переменных д , р $

 

Однако, так как вместо формулы (34) Иордена в данном случав

имеем формулу (6 ,7 3 ), то вместо,

например,

его же формулы

(41)

будем иметь формулу

 

 

 

 

(2,29)

 

 

? - Л

 

 

 

что

В § 5 цитируемой работы Норден устанавливает,

 

Пространство

будет проективно

евклидовым

, если кривизна

зависит

только

от потенциала

.

основного

вектора

у

.

 

 

 

 

 

 

 

Применяя этот результат к данному случаю, можно сказать,что на поверхностях, внутренние кривизны которых суть функции только

,т .е

K = K L <S),

имеет место проективно-евклидова геометрия, т .е . геометрия, геодезические линии которой отображаются на прямые проектив­ ной плоскости.

х) Норден А .П ., Там же ,§ 3

- 104 -

Выясним тип этих поверхностей.

С этой целью напишем основные уравнения (2,23) и условия Гаусса (11,26) и Петерсона - Кодѳцци(2,25) в нормальной си­ стеме координат. Согласно (1,29) и (2 ,2 9 ), получим

 

X*

« - / С (

<i)

f

*р

 

 

 

- І » Х *

 

 

 

 

_

 

 

&z*- %

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3,29)

 

*<jp

 

 

 

Р

Т*-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- О/д-Л- ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

= 7+ ( вц k i

 

 

 

?

 

 

(4,29)

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

К. р

■

k t

 

=

— ' . .

 

 

(5,29)

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

^

 

 

 

 

 

,

 

 

 

'Ър

 

 

 

 

(6,29)

 

 

 

 

 

~Ър

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тсу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так как в нормальной системе координат, согласно

(2 ,2 4 ),

можно

считать

 

 

 

е = 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, задача сводится-к интегрированию.

Из (6,29)

имеем

 

 

***■% ’

 

 

 

 

 

(7-29)

где /

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

некоторая

функция

от

д

 

и

р

.

 

.Тем

самым ста­

Будем искать

}

как функцию только

от

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вится задача отыскал представителя поверхностей, обладающих указанным свойством.

Согласно (7 ,2 9 ),

имеем

____

•

9 —

(8 »29)

следовательно, линии

 

суть асимптотические ли­

нии искомой поверхности. Уравнение последней получим, инте­ грируя третье уравнение группы (3,29):

A K(g).f>+ Ък(9).

Таким образон, искомая поверхность - линейчатая,

- 105 -

причем асимптотические

линии

суть ее

прямолиней­

ные образующие.

искать

 

f

как

функцию только

от

р

.

 

Будем теперь

 

 

 

Согласно

(7 ,2 9 ),

(4,29)

и (5 ,2 9 ), имеемм

 

(9,29)

'

 

 

 

С

=

-

 

Dp .

 

 

 

 

 

/Г-і=

 

 

 

(10,29)

 

 

 

 

ІС

2

 

 

 

.

 

 

(11,29)

 

Из

(9,29) следует,

что

 

 

 

координатные, линии искомой

поверхности образуют сеть сопряженных линий. Из

(10,29)

диф­

ференцированием

по

р

,

согласно

(11,29), (7,29)

и (10,29),

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

два случая:

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

 

 

 

(12,29)

 

1)

f i

,5+ / " = о

;

f " = 0 ,

 

 

 

2)

К ( Ч , >

РІ +7

’

 

имеем

 

« 3 ,2 9 )

В первом

случае из (12,29)

 

 

 

 

 

 

Jf

=

Cp-n.it

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому,согласно

(7 ,2 9 ),

 

 

 

 

 

і- о •

следовательно,

линии

 

-асимптотические. Кроме

■ того, согласно

(9 ,2 9 ),

 

,

 

^

ёг%~ £,і

- О .

 

 

 

Таким образом, в первом случае имеет развертывающуюся поверхность. Из третьего равенства группы (3,29) получим урав­

нения этой

поверхности:

 

+

 

(

 

 

 

из которых

SL С 1

<£) .

р

$

Ю ,

линии

9 = й - к - пря­

следует, что асимптотические

молинейные

образующие развертывающейся

поверхности.

Рассматривая второй

случай,

 

из (1 3 ,2 9 ),

в силу ввэави^'

симости S’

и р , имеем

 

 

ч

 

 

 

 

 

 

CO Wbt.

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы