Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 87
Скачиваний: 0
- 106 -
Имея это в виду, из (13,29) получим для определения f c p ) следующее дифференциальное уравнение:
(К-1)?'ч-ГС.г р Л=0 .
Решая это уравнение при помощи подстановки
получим |
h p ) |
|
« ь , |
|
|
|
||
согласно |
(7 ,2 9 ), |
|
« • Г ' |
|
||||
Поэтому, |
|
( И , 29) |
||||||
|
t |
|
ш |
К - |
р |
|
|
|
откуда, |
11 ■ |
|
|
|
||||
согласно (1 0 ,2 9 ), |
|
|
|
|
||||
следовательно, согласно (14,29) |
|
(15,29) |
||||||
|
6„ = р \І К*-К |
■ |
|
|||||
Из ( И , 29) или (15,29) следует,что искомая поверхность |
||||||||
имеет вещественные |
Gcj |
,если |
К~о |
и /С>/ .Найдем ее уравне |
||||
ния. |
|
|
(3,29) |
.согласно (9 ,2 9 ), |
(14,29) и |
|||
Основные уравнения |
||||||||
(15,29), |
принимают вид: |
|
- |
|
|
|||
|
* |
. * ѵ |
- х к + г < к ч с |
|
||||
|
X ч р .-я о у, |
(16,29) |
||||||
|
|
|
|
' .nck |
|
|||
|
|
______ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
Из второго уравнения следует, что |
(17,29) |
|||||||
откуда |
л к = у |
,( 9 ) |
+ ^ C p j |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18,29)
107 -
|
Умнокая |
третье |
равенство |
группы |
(16,29) |
н а/Г .^ и |
вы |
|||||||||
читая |
результат из |
первого, получим |
|
|
|
|
|
|||||||||
или, |
|
|
|
* |
|
•= - jC-p * - р - X + К - р &* р р |
|
|
|
|||||||
согласно |
(17,29) |
и |
(18,29), |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
i t f > <-V |
С9) - |
“ |
л- Т \ < - Г ) |
і/ѵ |
+ п -.‘ Р |
\ |
» |
|
||||||
откуда, в силу |
независимости |
!) |
и f |
, имеем |
два |
уравнения |
||||||||||
для |
определения функций |
ѵ * с и з^с/у |
: |
|
|
|
(19,29) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
П Ч ) |
= с . |
|
|
|
|
|
|
|||
где |
С |
- |
|
К - р \ 'і Г > - |
К т - ^ Р ) - \ < О г С , |
|
|
(20,29) |
||||||||
постоянное. Уравнение |
(19,29) |
с постоянными |
коэффи-' |
|||||||||||||
циентами |
имеет |
решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
и |
|
|
Ч) = у, Cofc <? -*• JT» |
|
+ C, |
|
|
|
|
|||||
у, |
jf |
- |
произвольные постоянные. |
|
|
|
Эйлера |
|||||||||
|
Уравнение |
(20,29) |
принадлекит |
к типу уравнений |
||||||||||||
и при помощи подстановки |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
приводится |
|
|
|
Р = е |
|
|
коэффициентами: |
|
||||||||
кКуравнению& - 1 Кс &постояннымит р - с - |
|
|||||||||||||||
|
Общее |
решение этого |
уравненияс имеет |
вид: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
% i |
|
Ч * |
|
|
|
С_____ |
|
|
||
|
|
|
|
7| = л , € |
ч- |
|
|
Ѵ ч - 'У |
» c v ^ ; |
|
||||||
в уравнения (20,29) - вид: |
|
|
||||||||||||||
где ^ |
и |
\ |
|
- |
корни характеристического уравнения |
|
||||||||||
а л , |
и Ä j - |
|
АГгь— д Л Г г — |
|
|
|
|
|
|
|||||||
произвольные постоянные. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Таким образом, уравнения искомой поверхности, согласно |
|||||||||||||||
(17,29) |
, |
имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= |
|
|
- |
108 - |
|
|
|
|
|
|
|
(21,19) |
|
|
* |
«с |
|
|
к |
|
(С |
Ч, |
„ |
* |
** |
_ * |
|||
|
к |
у, с«* 91 |
а , |
S i . t g t 'X , jP +*% p |
■*■c/ • |
||||||||||
|
Здесь |
точки |
|
? 54 |
»У*. Уе и |
с,* |
|
можно |
выбрать опре |
||||||
деленным образом. |
точек поверхности имеем |
|
|
|
|||||||||||
|
Для |
координат |
|
|
|
||||||||||
где |
Л ,-- |
|
|
сц^ х ^ х ^ - і . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
коэффициенты уравнения абсолюта. Поэтому, согласно |
|||||||||||||||
(21,29) |
, |
должно быть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Qjrt < |
jr,“ c o sy |
|
|
л ^ |
Q +тГ, р г |
+ |
л. |
р*'*. с/*J( |
|
|||||
ИЛИI |
‘ |
|
|
* |
|
|
я |
|
= * |
|
|
||||
+ |
t f s L n q |
|
|
Р%‘ + |
'> * V <4 + |
С*) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а-р |
У Л / b-ngüiicft- |
у* y f ^'л*У+- |
+ -2 Ärf'ß |
C ,^C o6 9 + £ G ^ ß c f Ь f t g +■ 2 |
б Ц д у Д х Д СсП й5 /> + |
+ 2 а -/> *Г Аі |
|
+ 5 а«/) уД а //>Ч<''< 9 -f- |
(22.29) |
||||||||||||
л |
|
|
_ |
д ■ > |
|
|
«*• |
у® «t't/ |
|||||||
+ 2 |
a j p |
|
|
р |
г ьс>ід + |
|
р |
■+ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
+ .? |
|
x j % * |
р ^ ' p^x-t °-*р л і л » |
р * л+ %а «р :л/ ° ' |
+ |
||||||||||
+ 2 а о./» |
|
С,'4/’ 1*- ^ |
Дв/3 |
с / с / = 1 • |
|
|
|
||||||||
Потребуем, |
чтобы |
|
|
|
|
« S cosq +O y £ y£ i:n 4 -i:G*tt |
|||||||||
а |
« 7 » |
У * у / |
’ |
с о Ь 1 * ! |
+ |
|
у “ |
У ^ б - ' л |
|||||||
■ лш |
|
|
У'/ |
CcS |
Уч- % CL*! |
уя ^tft§coS<¥-+ß^3 |
|
. |
|||||||
Отсюда |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||
имеем . |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 . |
|
ы |
||||
|
|
|
.•< £ |
|
а */з У*. УI |
* |
|
а *у» У •‘Ѵ / |
|
|
°» |
||||
Яз |
|
|
*Г у /*- |
|
|
|
и у а |
||||||||
|
последнего |
равенства |
следует, |
что точки |
у, |
||||||||||
сопряжены |
относительно абсолвта. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Из (22,29), кроме того, имеем |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
й^/j * Г е ,л*-о |
, |
|
t ? c? z ° ’ |
|
|
|
||||||
|
|
|
а м/1-> 7 с/ -о |
, |
a jf lx ^ c , = 0 , |
(23,29) |
|||||||||
a^ p c!‘ ci = . o >
|
|
- 109 - |
|
|
=о |
(24,29) |
|
|
|
А-/» >7 Л /* * о , |
аир |
||||
|
|
а*р і * *!*-zo |
, |
°-<ч> і Г ^ і |
^ 0 ' |
(25,29) |
|
Из |
(23,29) |
следует, что |
c “ |
а *Ѵ |
|
каждой |
|
сопряжена |
из точек у,*1 |
||||||
Уі* , >/" |
следовательно, |
|
|
|
|
||
Из |
(24,29) |
следует, что |
|
|
|
|
(26,29) |
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, точки ленат на оси абсолюта. Равенства (25,29) - следствия ^26,29). Итак,
* *= І * cos q + Хі<ііку+ |
\ |
р** |
Из сказанного в конце § 21 о геометрическом значении параметра 9 следует, что (27,29) есть поверхность, обра зованная вращением плоской линии около абсолюта (см.рису
нок).
Отметим, что интеграция основных уравнений (3,29)
в обоих рассмотренных случаях производилась без накладыва
ния каких-либо |
ограничений на |
кривизну |
Я |
.Поэтому |
мы |
действительно |
получили представителей поверхностей, |
обла-* |
|||
дающих проективно-евклидовой |
геометрией первого рода. |
||||
