Файл: Торгашев В.А. Система остаточных классов и надежность ЦВМ.pdf

сходимости зависит не только от возможностей выбранного R-кода, но и от характера задачи, решаемой на ЦВМ. В частности, если в состав последовательности модульных операций входят умножения, то процесс сходится очень быстро, а при выполнении одних лишь операций сложения и вычитания некоторые комбинации ошибок во­ обще не удается локализовать.

Рассмотренный выше способ коррекции ошибок, использующий динамику вычислительного процесса, был предложен и детально исследован И. Я. Акушским и Д. И. Юдицким. Поэтому более пол­

{кдг -|- 1}я, не содержат нулевых компонент, то, в соответствии

с теоремой 2.10, ошибка должна находиться в одном из информа­ ционных модулей. Поэтому произведения {56}я, и {116}я, можно

было бы не вычислять.

Выполним теперь те же действия для числа А2= А1— 200:

{ К } м = {5, 6, 5, О, 6}ж ;

63

можно считать, что ошибка соответствует именно этому модулю. Определим теперь вектор ошибки, воспользовавшись выраже­

нием (2.22):

{ N \ b p 3\RJ p 3}M ={0, 0, 5, 2, 7}м -

{ Л Ь , = {5, 6,1,0, 6}АІ.

В случае необходимости можно восстановить и истинное зна­ чение числа

ных характеристик и расширению системы оснований. Поэтому если обеспечено исправление ошибок при выполнении этих двух операций, а также модульных операций сложения, вычитания и умножения, то можно утверждать, что результат любой арифметической операции является п р а в и л ь н ы м.

Для правильного выполнения немодульной операции обычно не­ обходимо знать знаки операндов. При отсутствии ошибок знак

изошли только в контрольных основаниях, произведение которых равно Qu. Основания эти легко можно локализовать, используя тео­

только контрольные, но также информационные символы числа. Про­ изведениеоснований, соответствующих этим символам, определим из неравенства (2.14). При этом возможны три различных варианта:

Из доказательства теоремы 2.7 следует, что первый вариант со­ ответствует отрицательным числам (—2N < Я —|Я '| N < —N), я третий — положительным. Таким образом, в этих случаях по

64

величине |6Q |^ можно однозначно определить знак числа. Что ка­

сается второго варианта, то ему могут соответствовать и отрицатель­ ные и положительные числа. Поэтому если произведение |ö Q |^ i по­

падает в интервал (Q, 2Q), то для определения знака приходится возвращаться к исходному числу, исправлять в нем ошибки и далее снова вычислять позиционную характеристику уже исправленного числа.

При вычислении позиционных характеристик Я д^Л ), где Л', яв­

ляется делителем N, непосредственная коррекция ошибок (без ис­ правления исходного числа и повторения операции) возможна лишь в том случае, если все ошибки соответствуют основаниям, не входя­ щим в произведение N t.

Пусть А' — искаженное значение числа А. Тогда в соответствии

сформулой (2.22) можно записать:

А= А' + I BQ Ir NIQ - 6N.

Если Q и N] взаимно просты, то величина N/QN^ является це­ лым числом и, следовательно,

(2.25)

В том случае, когда произведение NtQ не является делителем N, для получения истинного значения позиционной характеристики не­ обходимо сначала исправить искаженное число, а затем повторить операцию. Для коррекции ошибок, возникающих при расширении

ствует основание N v

Ошибки, возникшие при выполнении данной операции или исказившие символы исходного числа {Д}уѴІі, по-разному влияют

на результат в зависимости от того, в каких модулях они про­ изошли. Ошибки в контрольных основаниях не влияют на число {Л}дг5. Однако при выполнении операции расширения они могут

быть обнаружены и исправлены обычным способом.

Непосредственные ошибки в добавляемых модулях не обнару­ живаются при выполнении операции, но в тоже время они п не распространяются, и, следовательно, могут быть исправлены при выполнении следующей немодульной операции, операндом которой служит число {•^}Уи1 N,- Наиболее опасными являются ошибки

Подставляя в это выражение значение Д из формулы (2.22), получим

=— I “ I BQ \R ,N IIQ lw,}yv3-

Избавимся теперь от вычислений по модулю Д/, и учтем не­ обходимость коррекции результата расширения при отрицательном значении исходного числа А. Тогда:

Символы вектора {уГ},ѵ„ вычисляются здесь по формулам (1.26).

Необходимо отметить, что если ошибки произошли в процессе выполнения немодульной операции, то попытка исправить исходное число приведет, напротив, к его искажению (при условии, что кор­ рекция осуществляется путем прибавления к этому числу вектора ошибки, вычисленного по формуле (2.22)). Поэтому повторная опе­ рация вновь даст искаженный результат. И лишь еще раз повторив

N 2 — 5 и воспользовавшись выражением (2.26). При этом

1Ц(Л)І5 = 4; [1761^-8 I, = 3; |2JV,|, = 2; |*,(Л ) |5 = [4 + 3 — 2 [5 = 0.

Одновременно можно вычислить истинное значение позиционной характеристики |я 6 (Л )} ^ :

/5 - {°. 0,4,9 .0}jM/e;

Ы А ) } м 15 = { ' Л - 2 . Ы } м ,в.

66

Итак, получено исправленное значение искомой характеристики

(Л)Ьи “ {О-1- 4- 2-6- 1}.«-

Приведенные выше методы исправления ошибок позволяют до­ статочно эффективно бороться со случайными сбоями. В тех же слу­ чаях, когда происходят отказы в аппаратуре, т. е. ошибки носят по­ стоянный характер, приходится непрерывно корректировать их, что существенно уменьшает производительность ЦВМ. Особенно не­

в системе остаточных классов является то, что они позволяют вести вычисления, не исправляя каждый раз искаженные символы, что обусловлено равноправностью всех основании СОК.. При появлении постоянных ошибок в какой-либо группе оснований можно исключить эти модули из системы и дальнейшие вычисления вести в сокращен­ ной СОК. Естественно, что в этом случае искаженные символы не будут оказывать никакого влияния на ход вычислений.

Как правило, при исключении из СОК какого-либо основания минимальное расстояние Д-кода уменьшается на единицу (при не­ изменной точности вычислений). Поэтому, если вероятность одновре­ менного отказа двух или большего числа модулей достаточно мала, можно считать, что R-код позволяет исправлять ошибки постоянно­ го типа в любых d — 2 основаниях системы при условии, что осно­ вания, в которых локализуются эти ошибки, исключаются из СОК.

Переход к вычислениям в сокращенных СОК не влияет на ре­ зультаты операции, выполняемых с целыми числами. Если же ЦВМ оперирует с дробными числами, то изменение числа оснований СОК может привести к появлению погрешностей. При исключении из СОК

операции правильное значение результата можно получить, умножив его на рп+1/рі. Не отразится переход к другому знаменателю и на выполнении операций сравнения, определения знака, вычисления аб­ солютных величин и любых других операций, результаты которых зависят только от значений числителей дробных чисел. Но весьма существенно изменятся результаты операций умножения, деления и перевода дробен из СОК в позиционную систему. Так, при умноже­ нии величина результата уменьшится, а при делении увеличится

вРп -г 1ІРі раз.

Вобоих случаях дальнейшие операции с полученными дробями приведут к существенным погрешностям, которые уже невозможно

устранить. Для того чтобы избежать накапливания погрешностей,