Файл: Торгашев В.А. Система остаточных классов и надежность ЦВМ.pdf

Величину l/li-W,,]^ найдем с помощью метода, предложенного в предыдущем параграфе. Так как < N u то минимальное рас­ стояние кода при вычислении величины {А/р/}^', определяется

модулями, входящими в произведение R N 2.

Следует отметить, что при уменьшении точности вычислении увеличивается скорость обработки информации, так как быстродей­ ствие ЦВМ изменяется прямо пропорционально числу информа­ ционных модулей.

В тех случаях, когда одновременно предъявляются высокие требования и к точности и к надежности решения задачи, а с по­ мощью модулей, используемых в ЦВМ, эти требования не обеспе­

арифметических операций. Однако, если учесть, что число информа­ ционных модулей, а следовательно, и время выполнения операции перевода чисел из СОК в ССО уменьшатся в два раза, то число модульных операций, необходимых для выполнения вычислений, увеличится примерно в полтора раза для умножения и деления, в п/2 раз для сложения и вычитания, а для остальных операций менее чем в полтора раза. Количество модульных операций, необ­

чтобы код позволял исправлять ошибки постоянного типа в любых

разно использовать в тех случаях, когда высокие требования к точ­ ности и надежности характерны лишь для части задач, решаемых на ЦВМ. С помощью небольшой подпрограммы можно легко пере­ ходить от одного способа представления чисел к другому, тем самым полностью используя резерпы точности, быстродействия пли надежности ЦВМ, которые образуются при выполнении различных задач.

В системе остаточных классов можно представлять не только числа, но и адресную часть команд. В результате появляется воз­ можность обнаруживать и исправлять ошибки, возникающие в де­ шифраторе адреса запоминающего устройства, счетчике команд, сумматоре индексов и в других элементах адресного тракта. Спо-

72

собы обнаружения и коррекции ошибок, искажающих адреса чисел и команд, будут рассмотрены в следующей главе, а здесь мы кос­ немся лишь вопроса о потенциальных возможностях R-кодов, ис­ пользуемых для этих целей.

Предположим, что запоминающее устройство содержит N ячеек

ошибку. Обычно при появлении ошибки в коде адреса приходится останавливать ЦВМ (если код не позволяет исправить эту ошиб­ ку). Если же адреса представлены в системе остаточных классов, то сигнал ошибки можно использовать для перехода к той части программы, которая размещается в первых Njpn или меньшем количестве ячеек запоминающего устройства. В этих ячейках мо­ жет храниться программа какого-либо контрольного теста, после выполнения которого происходит возвращение к рабочей програм­

какого-либо элемента адресного тракта, то переход к выполнению

лить номер отказавшего модуля. Исключив этот модуль из СОК, можно продолжить выполнение рабочей программы.

Таким образом, R-код с минимальным расстоянием d = 2 позво­ ляет исправлять одиночные ошибки постоянного типа.

Обычно в управляющих ЦВМ используются запоминающие уст­ ройства двух типов. Для хранения программы и различных кон­ стант служит постоянное запоминающее устройство (ПЗУ), а дан­ ные (исходные, промежуточные и результаты) хранятся в оператив­ ном запоминающем устройстве (ОЗУ). Поэтому если ошибка про­ изошла в адресном тракте ОЗУ, то для локализации отказавшего модуля следует перейти к такому участку программы, в процессе выполнения которого используются лишь первые N/p„ ячейки ОЗУ. Естественно, что данный участок программы не обязательно должен носить тестовый характер.

Предположим, что ЦВМ решает ряд различных самостоятельных задач л программы, соответствующие некоторым из этих задач, можно разместить в первых N/p„ ячейках ПЗУ. Тогда при исклю­ чении какого-либо модуля прежнюю корректирующую способность кода можно сохранить, если ограничиться лишь выполнением про­ грамм, расположенных в первых N/pn ячейках ПЗУ. При появле­ нии второй ошибки номер неисправного модуля можно определить, переходя к программам, расположенным в первых N/(pn_\, р„) ячейках и т. д.

Таким образом, использование приведенного выше корректиру­ ющего кода позволяет обеспечить безошибочное выполнение всей программы, записанной в ЗУ при отказе любого модуля системы остаточных классов, в которой представлен код адреса, или безоши­ бочное выполнение части программы, записанной в первых N/p„ ячейках ПЗУ при отказе двух любых модулей, или части програм­ мы, записанной в первых NI(pn-iPn) ячейках ПЗУ при отказе трех любых модулей и т. д.

73

То же самое справедливо и для оперативного запоминающего устройства. Разница состоит лишь в том, что при отказе каких-либо модулей адресного тракта ОЗУ приходится переходить к таким частям программы, при выполнении которых используются только

N/pп, Nj(pn_\pn) ячеек ОЗУ и т. д.

Итак, применение системы остаточных классов позволяет суще­ ственно повысить надежность ЦВМ. Даже в тех случаях, когда количество отказавших элементов превышает корректирующие воз­ можности К-кода, машина все еще может решать ряд наиболее важных задач, хотя, скорее всего, с меньшей точностью.

2.7.ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ КОДИРОВАНИЕ

Одним из наиболее замечательных свойств системы остаточных классов является независимость и равноправность всех оснований. Даже в том случае, когда исходная СОК не. избыточна, отказ элементов, относящихся к любому из модулей, не приводит к пол­ ному выходу ЦВМ из строя. Если каким-либо способом установить факт появления ошибки и локализовать ее, то, исключая неисправ­ ный модуль из СОК, можно продолжать вычисления при некотором уменьшении точности. Поэтому, применяя для обнаружения ошибок, возникающих в ходе решения задачи, программные методы конт­ роля, можно обеспечить высокую надежность ЦВМ, работающих в системе остаточных классов, не привлекая практически никакой добавочной аппаратуры.

К числу наиболее эффективных алгоритмических способов обна­ ружения и коррекции ошибок относится метод избыточных пере­ менных (функциональное кодирование) [6—8].

Для того чтобы избежать введения большого числа новых по­ нятий, ограничимся изложением лишь основной идеи этого метода. Любой алгоритм можно рассматривать как некоторое отображение

выходных переменных, добавляя функции у„ +1 ...........У п + г такие, что:

зованы для обнаружения и исправления ошибок, «возникающих и ходе вычисления. По сути дела речь идет об использовании таких корректирующих кодов, символами которых служат не числа, а достаточно сложные функции.

В работах [6, 7] подробно исследуются вопросы построения функциональных кодов для таких исходных функций у\, . .., у п, которые являются линейными относительно некоторой базисной си­

74

статочио широким, так как в их состав входят любые аналитиче­ ские функции, для которых существуют разложения в степенные или тригонометрические ряды, а также функции, являющиеся ре­ шениями линейных дифференциальных уравнений.

Если функции у\, . . у,, обладают указанным выше свойством, то добавочные переменные определяются как линейные комбина­ ции исходных функций.

Для обнаружения практически любых ошибок достаточно вве­ сти лишь одну добавочную переменную:

Добавочная переменная вычисляется либо непосредственно п разложению относительно базисных функции, либо путем «сверты­ вания» его в более удобную формулу. Очевидно, что при отсут­ ствии ошибок должно выполняться следующее условие:

п + 1

2 У '1(•*!’ ' ' ' 1Хт) = t= 1

Однако из-за погрешностей, обусловленных использованием конеч­ ных разложений вместо бесконечных, округлением при выполнении операции умножения и т. д., точное выполнение этого равенства практически невозможно. Поэтому в качестве контрольного условия используют неравенство

л+ 1

2 УI ("И >• ' ■' х т) < д . /=1

где А — максимально допустимая ошибка, которая может появиться в результате суммирования указанных погрешностей.

Нетрудно убедиться в том, что рассмотренный код позволяет

Кроме того, обнаруживается любая комбинация таких грубых оши­ бок, сумма которых по абсолютной величине больше, чем Д. Оче­

75

составляет 1—NIL. Поскольку A/LÄ;0, можно считать, что практи­ чески любые ошибки, возникающие в процессе решения задачи, могут быть обнаружены с помощью подобного простейшего функ­ ционального кода.

Естественно, что при введении добавочной функции увеличи­ вается общее время решения задачи. Однако для многих практи­ ческих задач управления добавочная функция получается достаточ­ но простой и для ее вычисления требуется примерно такое же вре­ мя, что и для определения любой из исходных функции. При доста­ точно большом числе выходных переменных относительные доба­ вочные затраты времени оказываются достаточно малыми.

В качестве простейшего примера функционального кодирования можно рассмотреть задачу преобразования прямоугольных координат:

у, = х, sin а -+- A'jjlcos’a; у2 = х хCOS а + Sin а.

Положим у3 = — (Уі + Уг)- Тогда, выполняя элементарные триго­ нометрические преобразования, получим:

Уз = — 1,41 [л', cos (я/4 — а) -f- jr* Sin (it/4 — а)]. При этом выполняется контрольное условие

задачи. Если грубые ошибки, искажающие отдельные выходные пе­ ременные, являются независимыми, то для коррекции любых /-крат­ ных ошибок достаточно использовать 2t добавочных переменных. Причем подавляющую часть этих ошибок можно исправить при использовании лишь t+ 1 добавочных переменных. Здесь также мож­ но провести определенную аналогию с корректирующими /^-кодами. Следует отметить, однако, что отказ какого-либо из элементов ЦВМ чаще всего приводит к искажению всех функций, вычисляемых в ходе решения задачи. Поэтому корректирующие функциональные коды принципиально не могут применяться для борьбы с подоб­ ными ошибками и область их применения обычно ограничивается коррекцией ошибок, обусловленных случайными сбоями. В то же время даже простейший функциональный код в сочетании с систе­ мой остаточных классов позволяет в известной степени бороться

с ошибками, вызванными отказами элементов ЦВМ.

Пусть в вычислительной машине используется нензбыточная

лении ошибки нарушается контрольное условие: м+ 1

Для того чтобы проверить, не вызвана ли ошибка случайным сбоем, задачу следует прорешать еще раз. Если и в этом случае

76