Файл: Князев А.Д. Элементы теории надежности радиоэлектронной аппаратуры учеб. пособие.pdf

Однако дифференциальная форма функции отказа свя­ зана с дифференциальной формой функции надежности за­ висимостью

Это равенство можно получить, если взять производные от обеих частей уравнения P + Q = l , справедливого в любой момент времени.

Следовательно,

Таким образом, функция частоты отказов характеризует скорость уменьшения вероятности безотказной работы во времени или скорость возрастания отказов.

Аналогичным путем можно получить дифференциаль­ ное выражение величины интенсивности отказов. С этой целью преобразуем формулу (2-2), заменив на основании предыдущего числитель зависимостью

n(t)=N0[Q*(t+At)-Q*(t)]

и представив Ncp(t) в знаменателе на основании (1-2) в виде

Ncp(t)=N0P*(t),

изделий, поставленных на испытания, умноженное на ве­ роятность величины исправных изделий.

Произведя такую замену и переходя к пределу, получим интенсивность отказов в дифференциальном виде, пред­ полагая непрерывность этой функции:

Следовательно, величина интенсивности отказов в про­ извольный момент времени t равна отношению производ-

28

ной функции надежности, взятой с отрицательным знаком, к величине самой функции надежности для того же момен­ та времени. Отношения (2-9) и (2-10) являются общими для непрерывной функции Я-(і), когда на ее вид не наклады­ ваются какие-либо ограничения.

Пользуясь понятием математического ожидания из тео­ рии вероятностей как среднего значения случайной вели­ чины, вокруг которого группируются все возможные ее зна­ чения, можно определить функцию среднего времени без­ отказной работы Т, предполагая ее непрерывность

о

где W(t) — плотность распределения времени отказа изделия. Как известно, плотность распределения (или дифферен­

циальная функция) случайной величины является произ водной интегральной функции этой величины.

Легко видеть, что функция отказов Q является интег­ ральной функцией, удовлетворяя ее признакам как неубы­ вающая и дифференцируемая функция с пределами изме­ нения от 0 до 1. Следовательно,

Вспомнив зависимость (2-6), можно отметить, что плот­ ность распределения времени отказа есть не что иное, как частота отказов в ее дифференциальном виде. Теперь можно записать

Интегрируя по частям, получим

о о

Первое слагаемое правой части после подстановки пре­ делов равно нулю, поскольку P ( t ) при t-* со убывает быст­ рее, чем растет t. Поэтому

00

о

29

Полученное уравнение является одним из основных в теории надежности. Из него следует, что среднее время безотказной работы изделия вычисляется интегрированием функции надежности по всей области ее определения и геометрически трактуется как площадь, ограниченная кри­ вой надежности и осями координат (рис. 10).

Рис. 10. Среднее время безотказной работы изделия в период нормальной эксплуатации может :быть определено геометрически как площадь под кривой функции надежности

Интегрируя равенство (2-12), можно дать геометричес­ кую трактовку функции вероятности отказов за время от 0 до t

о

откуда следует, что эта функция представляется площадью под кривой плотности распределения отказов W(t) в указан­ ном интервале времени (рис. 11). Эта площадь возрастает , с увеличением времени работы t, что означает возрастание вероятности отказов. Наоборот, вероятность безотказной работы должна со временем уменьшаться, что следует из равенства

Описанный метод определения параметров надежности характеризует свойства изделия только для его первого от-

30

каза. Здесь нет речи о ремонте изделия. Если же после от­ каза изделие ремонтируется, то для количественной оценки надежности используется другая методика. Поэтому сле­ дует различать два класса изделий (или систем): невосстанавливаемые и восстанавливаемые.

Невосстанавливаемые изделия (системы) после отказа непригодны к использованию. К таким изделиям относятся почти все радиоэлементы — резисторы, конденсаторы,

Рис. И. Значение функции отказов за вре­ мя h может быть определено геометри­ чески как площадь под соответствующим участкам -кривой плотности вероятности

распределения отказов W\t)

транзисторы, электровакуумные приборы и пр. Из сложных изделий (систем) невосстанавливаемыми являются изделия одноразового действия, например, электронные части уп­ равляемых снарядов, ракет и пр., которые не могут быть восстановлены после отказа в процессе использования.

Восстанавливаемые изделия (системы) после отказа мо­ гут быть отремонтированы и вновь использованы по назна­ чению. Восстанавливаемые системы обслуживаются, т. е. их параметры могут контролироваться и в ряде случаев ре­ гулироваться при эксплуатации. Для таких систем характер­ на возможность ремонта путем замены вышедших из строя элементов и проведения профилактических мер по поддер­ жанию надежности, что нельзя осуществить в системах не­ обслуживаемых.

31

Для ремонтируемого изделия одной из важнейших ха­ рактеристик надежности является среднее время работы между двумя соседними отказами (наработка на отказ)

за период эксплуатации t;

ti — время исправной работы аппаратуры между (і— 1) и і-м отказами аппаратуры.

Если время испытаний t изделия большое и число п дос­ таточно велико, то наработка на отказ стремится к некото­ рой величине ^*Ср. При этом учитывается только фактичес­ кое время работы изделия и не учитывается время простоя и затраченное на ремонт.

Такие статистические определения наработки на отказ можно провести не с одним, а с несколькими Л'0 образцами изделия. Вычисления в этом случае проводят посредством зависимости

восстановления изделия за определенный интервал време­ ни. Количественную оценку ремонтопригодности дает

32