Файл: Князев А.Д. Элементы теории надежности радиоэлектронной аппаратуры учеб. пособие.pdf

Введем безразмерное время -=. , подставив (3-9) в

(3-5), чтобы получить связь между функцией надежности и средним временем безотказной работы

Полученная зависимость представляет собой тот же экс­ поненциальный закон надежности. Такие же приближенные формулы как (З-б) и (3-7) можно получить в преобразо­ ванном виде

К экспоненциальному закону надежности можно придти из функции распределения Пуассона, которую называют «законом редких событий» или «законом малых чисел». Рас­ пределение Пуассона характерно для таких случайных со­ бытий, которые возникают конечное число раз в длитель­ ной серии независимых друг от друга опытов, причем число этих событий мало по сравнению с общим числом опытов, а среднее число событий (математическое ожидание) по­ стоянно в единицу времени.

Распределение Пуассона встречается при анализе раз­ личных физических явлений. Например, такие случайные события, как распад атома радиоактивного вещества, обрыв нити на ткацко-прядильном станке, соединение между або­ нентами телефонной станции, являются событиями, вероят­ ность которых соответствует распределению Пуассона. Действительно, в этих примерах число ситуаций (число опытов) очень велико, но число событий, о которых идет речь, наоборот, очень мало. Число атомов даже в неболь­ шом объеме вещества огромно, но в единицу времени из них распадаются лишь немногие, число нитей весьма вели­ ко, но обрываются лишь некоторые, число возможных ком­ бинаций соединений абонентов тоже велико, но соединя­ ются, скажем, за один час сравнительно небольшое число абонентов. Характерным для таких случайных событий яв­ ляется постоянство их среднего числа в единицу времени (например, постоянство среднего числа распадающихся ато­ мов), и именно устойчивость этого числа при многократ­ ном воспроизведении опытов есть объективно существую­ щая характеристика указанных физических явлений.

40

Аналогичные закономерности случайных событий свой­ ственны и внезапным отказам изделий. Эти отказы возни­ кают несмотря на то, что в материале изделия еще не про­ изошло существенных физико-химических изменений, ха­

числе опытов. Важными обстоятельствами при таких опы­ тах являются постоянство (или почти постоянство) средней величины числа отказов и ее совпадение с величиной дис­ персии (разбросами числа отказов). Иными словами, если числовые характеристики статистического распределения отказов — математическое ожидание и дисперсия (разбро­ сы от этого математического ожидания) — равны или близ­ ки друг другу, то с большим основанием можно полагать, что такие отказы по своей природе являются внезапными и закономерность их появления можно выразить распределе­

из них (обычно математическое ожидание). Другие, распре­ деления вероятностей требуют знания более, чем одной числовой характеристики.

Следовательно, в период нормальной эксплуатации из­ делия (второй участок ^-характеристики), когда отказы проявляются как редкие случайные события, их закономер­ ность подчиняется распределению Пуассона.

Общая формула распределения Пуассона, выражающая вероятность появления п событий за интервал времени t, записывается в следующем виде:

где п — целые положительные числа 0, 1, 2, 3 и т. д.;

а — среднее число событий в заданный интервал вре­ мени t.

Пользуясь обозначениями теории надежности, можно за­ писать, что

a=Xt,

где Л — среднее число отказов в единицу времени.

41

В таком случае выражение (3-11) принимает вид

ni

Это уравнение позволяет определить вероятность любо­ го числа внезапных независимых друг от друга отказов в заданный отрезок времени, начиная от п=0. Если же опре­ делить отказы за очень продолжительное Бремя (в пределе t-+co), то сумма вероятностей всех отказов, т. е. полная группа вероятностей, должна равняться единице

представляя, что он является суммой всех несовместимых состояний изделия, его надежности и ненадежности. Зави­ симость членов этого ряда от времени можно представить графиками (рис. 15), предполагая, что масштаб оси орди-

42

нат выражен в долях среднего времени безотказной работы - J (безразмерное время) и что в каждый произвольный

момент сумма всех членов ряда соответствует уравнению (3-14). Так, например, для значений t, равных 0,1 Г, 0,5 Т и Т, вероятности определенного числа отказов приведены в табл. 3-1.

mm

" N 1 I I п

0,8 К

Рис. 15. Графики функций надежности и отказов изде­ лия в период .нормальной эксплуатации

43

что по современным представлениям является низкой вели­ чиной. Это значит, что при испытаниях на надежность, на­ пример, ста однотипных изделий, в течение Т безотказно проработают только 37 изделий, а остальные 63 выйдут из строя (см. рис. 14). При испытании на надежность слож­ ного изделия, состоящего из большого числа элементов, за тоже время Г, как следует из табл. 3-1, возникновение двух

Рис. 16. При расчетах надежности радиоэлектрон­ ного аппарата по признаку внезапных отказов часто используется только начальный участок экспоненциальной зависимости функции надеж­ ности

независимых отказов (вероятность более 18%), трех неза­ висимых отказов (вероятность более 6%) и т. д. также оз­ начает высокую вероятность выхода изделия из строя.

час

44

величина T—IO тыс. часов), что за это время многие изде­ лия изнашиваются. При этом ^-характеристика соответст­ вует третьему участку (см. рис. 7), когда использование распределения Пуассона неправомерно. Таким образом, время Г оказывается, практически, более длительным, че>' время нормальной эксплуатации изделия. Следовательно, для определения интервала времени, Б течение которого справедлив экспоненциальный закон надежности, необходи­ ма дополнительная информация о протяженности во вре­ мени зторого участка Я-характеристики, т. е. сведения о техническом ресурсе и долговечности изделия.

Практика показывает, что целесообразным является рас­

дежность Р(£)>0,9 и т. д. На рис. 16 показана часть кри­ вой функции надежности на отрезке времени от £ =0 до £=0,1 Т, на котором часто производится оценка вероятно­ сти внезапных отказов.

Итак, распределение Пуассона не только подтверждает экспоненциальный закон надежности, но и позволяет ана­ литически определить вероятность возникновения одного, двух и более отказов изделия в заданный отрезок времени. Однако, чтобы пользоваться этим распределением, необхо­ димо сделать еще некоторые уточнения.

В теории вероятностей есть понятие «поток событий», под которым подразумевается последовательность однород­ ных событий, возникающих случайно друг за другом. Если за бесконечно малый интервал времени в потоке исключе­ но появление двух и более событий, то он называется ор­ динарным. Если возникновение событий (в нашем случае, отказов) не зависит от числа и характера возникновения отказов до начала времени отсчета to, поскольку события определяются различными, не связанными друг с другом причинами, то это поток без последействия. Если вероят­ ность появления определенного числа событий не зависит от начала времени отсчета ^о, а зависит только от длитель­ ности времени наблюдения, т. е. если плотность потока по­ явления событий постоянна во времени, то он называется стационарным. Поток случайных событий, характеризую­ щийся ординарностью, отсутствием последействия и ста­ ционарностью, называется пуассоновским. Поток внезап­ ных отказов изделий в период их нормальной эксплуата-

45