Файл: Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред.pdf

ной системы. Координаты индивидуализированной точки г0 в этой системе в процессе движения среды будут оставаться неизмен­ ными, а координаты зафиксированной в некоторый момент точ­ ки пространства г будут, вообще говоря, меняться. В дальней­ шем такую систему координат будем называть сопутствующей, так как она движется вместе с точками тела.

Отметим, что из дифференцируемости функции г(г0) следует

однозначности и дифференцируемости функций г (г0) следует су­ ществование неособого тензора A = dr/dr0, осуществляющего ло­

Исследуем структуру и свойства тензора А.

Начнем с частного случая, когда аффинор является симмет­

финоров, «*» — знак транспонирования матрицы.) Его собствен­

и тем самым исключим вырожденные и зеркальные преобразо­ вания D0 в D, которые не могут быть отнесены к классу физиче­ ски возможных движений.

Тогда при условии Х\фХ2фХ3 действие аффинора С сводится

Рассмотрим другой частный случай, когда аффинор А явля­

9

Известно [5], что из трех собственных чисел этого тензора лишь одно является вещественным, а два других — мнимыми, т. е.

\ = е1\ = X3 = l (i = V ^ A ) , (1 -2 -7 )

причем одно из собственных направлений, а именно е3°, соответ­

инвариант тензора В, равный сумме диагональных членов матри­ цы его координат.

Ограничение (6), как и ограничения (5), исключает из рас­ смотрения зеркальные отображения Do в D, при которых правый

Заметим, что собственные числа всякой матрицы являются комплексно-сопряженными с собственными числами транспони­ рованной матрицы, и поэтому собственные числа матрицы (А)х • (А)ж* не только вещественны, но и положительны, так как равны квадратам модулей собственных чисел исходных матриц. В силу этого существование операций, имеющих место в (8), не вызывает сомнений, и, следовательно, поставленная задача ре­ шена с помощью формул

Но поскольку квадратный корень из собственных чисел матрицы (А)ж- (А)ж* имеет два вещественных значения [6], то ясно, что представление (9) не единственно. Для единственности представ­ ления достаточно потребовать выполнения ограничений (5), в силу которых из решения выбирается та матрица, у которой все собственные значения положительны.

Однако рассмотренные соотношения сразу же приводят к вы­ воду о том, что не всякий аффинор осуществляет физически воз­ можные движения. Действительно, для существования аффино­ ра А, осуществляющего физически возможные движения, нужно

1C

еще гарантировать выполнение ограничения (6), а это при вы­ полнении (5) возможно лишь при условии

в силу которого необходимо, чтобы третий инвариант аффинора А был положительным.

чение (10) нельзя рассматривать как связь, так как оно лишь ис­ ключает из рассмотрения зеркальные и вырожденные отображе­ ния D0 в D и не сужает класса физически возможных движений.

Исследуем дифференциальные свойства аффинора А. Поло­ жим, что Л=Л(т]) — некоторая дифференцируемая функция пе­ ременной tj. Производная dAjdr\, как известно [7], образует двух­ валентный тензор. В силу (10) возможно следующее представле­ ние:

равномерно сходящийся по т] в любом конечном интервале изме­ нения т) [6], причем (/) — единичная матрица.

Следовательно,

где I — единичный тензор.

Заметим, что если имеет место равенство

0 -2 -1 3 )

11

т. е. матрица (Г^)* коммутирует со своим интегралом, то матрицант может быть записан так:

тензором В* понимается тензор, матрица декартовых координат которого транспонирована по отношению к матрице декартовых

к равенству (17), что и показывает кососимметричность тензора Q . Отсюда же следует вырожденность этого тензора det(Q1) ) х=

собственное направление е3° определяется однозначно, а собст­ венные направления ei° и ег°— с точностью до поворота относи­ тельно е3°. Кроме того, все три собственных направления взаим­ но ортогональны.

Выясним физический смысл тензора £2^. Для этого восполь­

зуемся соотношениями (16) и (15), в силу которых для беско­ нечно малых т) и ф имеет место равенство собственных направле­ ний и чисел тензоров В и 7+ £2v

12