Файл: Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред.pdf

правление распространения волн, X— скорость распространения волн. Добавляя к этим соотношениям вытекающее из теории мелкой воды условие

зависимости X от т] происходит опрокидывание волн, сопровож­ дающееся турбулизацией их гребней, т. е. возникновением ско­ ростей vr). В то же время движение с турбулизовавшимися греб­ нями становится устойчивым, так как падение X из-за уменьше­ ния высоты волн компенсируется возрастанием X вследствие по­

Fn = yrotB X B , где В ^индукция магнитного поля. Останавли­

и (43) на нормаль п к поверхности разрыва с касательной г и учитывая, что в силу уравнения баланса массы и второго равен­ ства в (48) [ducVdrJ^O, [д5т/дт]=0, а в силу кинематических со­ отношений на фронте разрыва [<3/д/г]=0, получим

1

Отсюда

Сравнивая эту формулу с (46), молено констатировать, что магнитная индукция увеличивает упругость волн разрыва rotvc

115

и далее сохраняет их упругость при и,-=0. Полученный результат хорошо согласуется с известным из магнитной гидродинамики фактом стабилизирующего влияния магнитного поля, повышаю­ щего устойчивость ламинарных течений лшдкости.

З а м е ч а н и е . Уравнения (42), (43) и баланса массы при физически оправданных граничных условиях могут все лее иметь бесчисленное миолеество решений, как и уравнение Эйлера (см. п. 10), если рассматривать, например, задачу об обтекании твер­ дого тела. Такая ситуация возникает из-за того, что на границе обтекаемого тела молено однозначно задать лишь нормальную составляющую скорости, в то время как касательная составляю­ щая v^° остается неопределённой. Так как произвольное задание v 1° не противоречит ни граничным условиям, ни исходной систе­ ме уравнений, появление мнолеества решений на мнолеестве {vT0} неизбелено. Для выделения из этого мнолеества ' единственного решения следует обратиться вновь к принципу наименьшего принуледения, выбирая такое vx+°, которое минимизирует принуледение Ф на {vt0}, т. е.

®(v0T+) = inf ®(v°t).

Напомним, что в п. 10 именно таким путем выделялось един­ ственное решение для плоского безвихревого обтекания, так как в этом случае неопределенность Vt° проявлялась в неопределен­ ности циркуляции Г.

Отметим также, что при решении уравнений (42), (43) для задач, в которых причиной появления vr является потеря устой­ чивости однозначного поля скоростей (например, возникновение, конвекции, размывание поверхности тангенциального разрыва), начальные и граничные значения vr имеют вероятностную приро­ ду. Для решения таких задач в детерминированной постановке мол<но рассуждать следующим образом: появление vn в соответ­ ствии с приведенными выше результатами, стабилизирует двилсение лшдкости, делая его устойчивым в классе многозначных фун­ кций v(g); пусть {vr*} — мнолсество начальных и граничных ус­ ловий, при которых во всех точках исследуемой области эта устойчивость имеет место; тогда истинный вектор vr+* молено найти из минимизации принуждения

Ф(vr+*) = inf Ф (vr*).

15.Упрощенная .турбулентная модель жидкости. Эта модель может быть получена на базе уравнений (42), (43) в результате

приближенной аппроксимации: vr(g) = v r° sign (g— 0,5), где vr° не зависит от g, т. е. замены многозначного поля скоростей дву­ значным. Тогда

116

В этом приближении движение жидкости характеризуется двумя векторными полями: vc й vr. Подчеркнем, что векторы скоростей vc и vr можно складывать только «энергетически» (i\ е. vc2 + vr2 =

= 2 Эц/р).

Посредством введенной модели исследуем сильные разрывы. параметров в турбулентной жидкости. Для этого выпишем дина­ мические соотношения на поверхности сильного разрыва, выте­

Здесь n" = v-n — проекция скорости v на внешнюю нормаль п к поверхности разрыва, w — тепловая функция, А'=А— vn, где А— скорость перемещения поверхности разрыва.

Интегрируя (50) по £ от 0 до 1, получим

[ рУ ] = 0 , РУ [ v *\ = [ р ] + р v rn ° [г»,л° ] ,

Для ненулевых разрывов, т. е. при [Ас']#0, имеем

Эта формула отличается от классической добавочным слагае­ мым, исчезающим при t>r=0.

117