Файл: Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред.pdf

Приравнивание аналогичных смешанных производных по t, q2 и i, q$ дает условия, являющиеся следствием вышеприведенных

всилу геометрических соотношений совместности поворотов (27) и (29). Кинематические соотношения совместности (41) и (43) эквивалентны двенадцати скалярным условиям и содержат две­ надцать кинематических величин Гг и v. Аналогичные соотноше­ ния (42) и (44) эквивалентны шести скалярным условиям и со­ держат шесть кинематических величин со, v. Вектор ускорения

втвердом теле определяется одним из следующих способов:

4. О разрывах в модели твердого тела. В предыдущих пун тах для модели твердого тела предполагалась дифференцируе­ мость функции г(г0). Однако можно несколько ослабить это ог­ раничение, потребовав, чтобы функция г(г0) была дифференци­ руема почти везде, т. е. чтобы разрывы производных dr/dqi и dr/dt могли существовать лишь при переходе через некоторую, вообще говоря, движущуюся относительно среды поверхность, а при движении вдоль этой поверхности —отсутствовали. По­ следнее предположение существенно, так как именно оно позво­ лит достигнуть однозначности разрывов на точках соответствую­ щей поверхности (т. е. 6' [<Эг/д<7г]= 0) .

Итак, зафиксируем в некоторой точке М элемент поверхности разрыва с единичной нормалью N и совершим преобразование декартовых координат с матрицей Аф так, чтобы новые коорди­

наты фь фг, фз> вообще говоря, подвижные, имели в зафиксиро­ ванный момент времени to в точке М единичный ортогональный

Здесь символ l- ] означает разность между значениями соответ­ ствующей величины при переходе через поверхность разрыва. Таким образом, если рассмотреть скалярное поле хг- в бесконеч­ но малой окрестности, окружающей точку М, то [IgradXil] =ht. По этому [dxi/dqj]= hi п • N (i, /= 1, 2, 3). Подчеркнем еще раз, что непременным условием существования и единственности этих разрывов явилось наличие в точке М такой поверхности, вдоль касательных направлений к которой производные dr/dqi остают­ ся непрерывными. Такие разрывы в дальнейшем будем называть детерминированными.

18

Допустим теперь, что вышеупомянутая поверхность разрыва движется. Скоростью ее в точке М в фиксированный момент времени назовем величину ^N = N • dty]/dt. Рассмотрим функции Xi—Xi (фь фг, фз, t), описывающие изменения декартовых коор­ динат тех точек пространства, которые лежат на зафиксирован­ ной поверхности разрыва в момент времени to. Так как в силу сделанного выше предположения разрывы производных при дви­ жении вдоль поверхности разрыва отсутствуют, то

Формула (47) устанавливает связь между разрывами производ­ ных г по координатам <7< и по времени t при переходе через по­ верхность разрыва.

Заметим, что и в последнем выводе было использовано то об­ стоятельство, что в направлениях, касательных к самой поверх­ ности разрыва, все производные непрерывны.

Все проделанные выводы справедливы, строго говоря, лишь при условии, что сама поверхность разрыва в точке М непрерыв­ на, т. е. не имеет угловой точки, что дает возможность детерми­ нировать в ней нормаль N. Однако эти выводы принципиально не изменяются и в том случае, если поверхность разрыва в точ­ ке М имеет локальный разрыв при условии, что при подходе к точке М в любом из возможных направлений по поверхности разрыва нормаль N имеет определенный предел, зависящий, во­ обще говоря, от соответствующего направления. В этом случае полученные выше формулы будут иметь смысл лишь при указан­

5. Обобщенные координаты. Обобщенными координатами бу­ дем называть независимые функции, однозначно определяющие состояние сплошной среды. Число таких обобщенных координат естественно назвать числом обобщенных степеней свободы. Обобщенные координаты модели твердого тела легко устанавли­ ваются из формулы (34) . Действительно, в силу этой формулы движение твердого тела может быть синтезировано из поступа­ тельного перемещения как абсолютно твердого тела, определяе­ мого вектором Гооо(^), мгновенного вращения как абсолютно

2* 19

твердого тела, определяемого ортогональным тензором B000 (t), получающимся из тензора Л0оо(0, если положить COQo(t)=0, и деформационного движения, определяемого шестью компонента­ ми метрического тензора Gij(t), по которым с помощью формул (32) строятся коэффициенты связности Г,-Д входящие в (34). Отметим, что если обобщенные координаты г00о(0 и Б00о(/). ха­ рактеризующие «абсолютно твердую» составляющую движения в фиксированный момент времени являются постоянными числа­ ми, определяющими фиксированный вектор г0оо и тензор В0оото обобщенные координаты Gjj, характеризующие деформационное движение, в фиксированный момент времени представляют со­ бой функции сопутствующих координат q;. Однако здесь следу­ ет учесть, что величины в ц не могут быть заданы произвольно

вым). Другими словами, дифференцируемая функция г(г0) мо­ гла бы существовать, если' бы тело в деформированном состоя­ нии заполняло некоторое воображаемое трехмерное риманово пространство. В реальном же евклидовом пространстве такой функции не существует. Однако эта формально введенная мо­ дель среды может описывать твердые тела с дислокациями. С геометрической точки зрения такая среда будет обладать тем свойством, что дифференцируемая кривая в пространстве D0 мо­ жет перейти в недифференцируемую кривую в пространстве D.

§3. Модель жидкости

1.Вводные замечания. В данном параграфе будут рассмотре­ ны модели сплошных сред, в которых дифференцируемость функции г(г0), а следовательно, и существование тензора-аффи­ нора А, вообще говоря, не предполагаются. Если в таких моде­ лях зафиксировать в пространстве начальных состояний некото­ рую непрерывную кривую, то ее образ в деформированном про­ странстве D может оказаться всюду разрывной кривой.

2. Модель ламинарной вязкой жидкости. Сплошную среду бу­ дем называть ламинарной вязкой жидкостью, если при г= г0 функция г(г0) однозначно-дифференцируема, т. е. существует производная A=dr/dr0. Учитывая, что v = drjdt при г0= const, и опираясь на дифференцируемость г по t достаточное число раз, можно утверждать, что функция v(r) однозначно-дифференциру-

2П

ема. Б каждый момент времени существует сопутствующая, а точнее — мгновенно-сопутствующая система координат qu при­ чем при г= г0 остаются справедливыми геометрические и кине­ матические соотношения совместности перемещений и поворотов,

записанные в виде (2—21), (2—26), (2—27), (2—29), (2—32) — (2—44).

Ввиду непрерывной дифференцируемости по времени функ­ ции г(г0, t) из сказанного выше следует, что аффинор А предста­ вим в виде

так что аффинор А мало отличается от единичного. Аналогичные представления имеют место и для аффиноров С, В (А = С • В) , которые также мало отличны от единичного. Поэтому тензоры Гг и й,- являются бесконечно малыми порядка е, причем dA/dq* = = Гг, dBjdqi = Qi. Условия геометрической совместности переме­ щений в этом случае вместо (2—21) принимают вид

Условия геометрической совместности поворотов вместо (2—27)

Учитывая, что Гг | г ^ г~ Гг- А ~ АГ;= ( | Гг^дг)Г,-, можно вос­ пользоваться формулой (2—14); тогда вместо (2—28) и (2—34) имеют место представления

Наконец, формула (2—32) упрощается следующим образом:

21