Файл: Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред.pdf

с нитью будет сила инерции присоединенных масс жидкости. Счи­ тая элемент нити прямым круговым цилиндром с исчезающе ма­ лым радиусом, найдем выражения для этих сил:

Здесь v' — скорость жидкости «на бесконечности», р '— плотность жидкости, отнесенная к единице длины нити.

Исследуем распространение разрывов формы нити [Qi], [Q3] и ее удлинения [/], используя систему (27)—(33) с учетом соот­ ношений совместности на фронте разрыва (см. гл. I, § 2, п. 4).

Из (27) и (32) сразу получим

О

Таким образом, скорость распространения упругой продоль­ ной волны в нити, движущейся в жидкости, имеет такой же вид, как и при движении в вакууме.

Рассмотрим несколько случаев.

1°. Пусть ь2 фО. Тогда распространяющиеся разрывы круче­ ния [Qi] невозможны, а для волны разрыва кривизны получим скорость

2°. Пусть v2 —0, Цз/= 0. Тогда для волны разрыва кривизны сохранятся выражения (35) и (36). Для получения скорости рас­ пространения разрывов кручения вместо превратившегося в тож­ дество второго уравнения в (34) получим новое соотношение, продифференцировав по ф. уравнение (29):

{(р + рОX2- (2ри— р 'О X - (Т — рц2) - « } [Q,] = 0.

105

т“ 2?Р'

Р+ Р' + « f 4(?Т7) (Р'®°1 - 4Р«)}- (HI—6—37)

Отметим, что это уравнение нелинейно относйтельно разры­ вов кривизны и кручения. Поэтому вначале ограничимся исче­ зающе малыми величинами этих разрывов, линеаризируя (39) по [Q i] и [П з]. Полученное линеаризованное уравнение будет точным для слабых разрывов формы нити, т. е. для [ d Q i/д ф ], [д £ 2 з/д ф ]. Решая линеаризованное уравнение (39) совместно с первым из уравнений (34), после несложных, но громоздких преобразова­ ний придем к характеристическому уравнению относительно скорости Я,4 для совмещенной волны кривизны и кручения формы нити, переносящей бесконечно малые сильные разрывы, или, что то же самое, конечные слабые разрывы формы нити:

106

Пользуясь преобразованием Феррари для уравнения четвер­ той степени с последующим решением вспомогательного кубиче­ ского уравнения по формулам Кардана, можно получить точные формулы для скорости Я4 и условия потери устойчивости формы нити в виде элементарных функций от исходных параметров. Од­ нако ввиду чрезвычайной громоздкости и плохой обозримости этих формул приводить их нецелесообразно.

Обратимся'к случаю конечных разрывов формы, для чего решим совместно нелинеаризованное уравнение (39) с первым соотношением в (34); после преобразований придем к следую­ щему уравнению относительно скорости распространения Я4' этих разрывов:

А \ \ / + Л '8Х / + Л '2Х / + Л',Х'4 + Л'о = 0.

Это уравнение уже не является'характеристическим, так как его коэффициенты зависят от величины переносимых волной разры­ вов. Для записи этих зависимостей можно воспользоваться фор-.

Распространение конечных разрывов формы с внехарактери-' стическими скоростями может'привести к возникновению удар­ ных волн формы нити, появляющихся в результате «накопления» слабых разрывов формы. Условием для возникновения ударных волн формы является неравенство dXjdQi>-0.

Полученные результаты допускают некоторые интерпретации. Положим, например, в формуле (35) Г= 0, F 2)=0, т. е. перейдем от нити к некоторой континуальной совокупности ничем не свя­ занных между собой точек, образующих непрерывную кривую. Положив р/= 0 в (35), убеждаемся, что такая кривая в вакууме неустойчива (т. е. точки, образующие кривую, должны «рассы­ паться». Если же р '^ 0 , то при соблюдении вполне реального неравенства

107

или

эта совокупность становится устойчивой и в ней появляется упру­ гая волна формы только вследствие гидродинамических сил. Бо­ лее того, такой континуум в жидкости может быть даже сжат с сохранением устойчивой формы при соблюдении неравенства

или

+ ! ) + / > ? # .

Здесь р = — Т — отрицательное натяжение (давление). В связи с этим последние неравенства могут интерпретироваться как ус­ ловия устойчивости формы затопленной струи исчезающе малой толщины и имеющей плотность р, отнесенную к единице длины. Для затопленной ст-руи, имеющей ту же плотность, что и окру­ жающая жидкость, условия устойчивости формы упрощаются:

-п0! > 2и + 2 ] / ” 2(п2 -|-Д ) или v°i < 2« — 2 j / ' 2 (u2+ -y -)-

Здесь р — давление в струе.

12. Тонкая оболочка в идеальной жидкости. Рассмотрим об лочку, конечная толщина которой на несколько порядков меньше остальных размеров так, что ограничивающие ее поверхности можно отождествить со срединной поверхностью. Положим, что

ЖИДКОСТЬЮ, НО С ПЛОТНОСТЬЮ Р 2 и скоростью и2. Оболочку будем считать упругой, имеющей модуль Юнга Е, коэффициент Пуас­ сона v и объемную плотность р. Пользуясь приемом, изложенным в п. 8, придем к характеристическому уравнению для скорости распространения поперечной волны оболочки А.:

Р^2 + Pi Q-— Mi)2 + РзO' — мг)2 = Тп + Д/ (2 (v + 1)),

где щ, и2— проекции щ и и2 на нормаль к фронту волны, Тп — нормальное напряжение, действующее на площадке, касательной к фронту волны. Отсюда

108

Условие потери структурной устойчивости поверхности оболочки запишется так:

= —Тп~^0, где р — давление. Физической реализацией такой мо­ дели может явиться битый лед, снизу обтекаемый жидкостью, а сверху воздухом. В этом случае условие потери устойчивости принимает вид

р+ р^ + р"- > л п“Ч + 2А12щи2+ А 22и22.

Отсюда следует, что это условие облегчается при встречном (по отношению к течению воды) ветре.

13. Идеальная электропроводящая жидкость в магнитно поле. Ограничиваясь случаем бесконечной электропроводимости,

всоответствии с [9] запишем

р[dv/dH- (v-V) v]= —gradp— rotBXB, dB/df=rot (vXB),

divB = 0, ф /d^+divp v=0,

где В — магнитная индукция.

Найдем скорости распространения разрывов rot v и rot В. Для этого спроектируем исходные уравнения на нормаль п к поверх­ ности разрыва с касательной т и, учитывая, что в силу последних двух уравнений [ди,/дт]=0, [дБ./с?т]=0, а в силу кинематических

соотношений на фронте разрыва [с?/с?/г]= 0 (так как [д/Зт]=/=0), получим

Из этой формулы следует, что при ВХп = 0 упругость волн раз­ рывов rotv и rot В исчезает, а соответствующие дифференциаль­ ные уравнения из гиперболических превращаются в параболи­ ческие.

Уравнение движущейся поверхности разрыва R (q\, q2, t) может быть найдено как решение системы

У р ■§-= ± |В — (В.п)п|-п, |п| = 1, п - ||- = 0 (1= 1 , 2),

если эта поверхность задана при ^=0, т. е. Ro=R (q\, q%, 0). Поло­ жим, что в невозмущенном состоянии щ = 0, а В и R0 подобраны

так, что dR/df-Ю при 00. Тогда в полной аналогии с «эф­ фектом кнута», рассмотренном в § 4, п. 4, можно утверждать,.

109