Файл: Вайсман М.Д. Режимы и способы пуска блоков сверхкритического давления учеб. пособие.pdf

нечное множество зависимостей для 0:

О, = C,J0 (k,r) е-°** + D, Y0 (k,r) е~ак- ;

0, = C2J0(А,г) е~ак-х-I- D,Yti (V ) в " ak* ;

Строго говоря, требует доказательства правомерность пред­ ставления общего решения в.виде бесконечного ряда частных интегралов. В нашем случае справедливость (38) обоснована тем, что исходное дифференциальное уравнение, а также зави­ симости,'описывающие граничные условия, являются линей­ ными однородными уравнениями.

Заметим, -что ни один-из частных интегралов сам по себе не удовлетворяет заданному начальному распределению тем­

браическое суммирование множества частных решений позво­ ляет близко подойти к заданному начальному условию.

Перейдем к определению постоянных по краевым усло­ виям. Из граничного условия на внутренней поверхности имеем

Условие іііа внешней поверхности дает

CJ0'\ k R tt) + DY0'(kRH) = 0.

В теории бесселевых функций доказывается [19], что произ­ водная от любой функции Бесселя порядка ѵ равна одно­ именной функции порядка ѵ+1, взятой с обратным знаком:

Л/ а д = - kJ>m « ) и к / а д = — к г, а д ,

(/і и Y, — бесселевы функции первого порядка, первого и второго рода).

Таким образом, из гранитного условия на внешней поверх­ ности цилиндра вытекает

Зависимости (39) и (40) есть линейные, относительно С и D однородные уравнения. Неизвестные таких уравнений могут

V 43

отличаться от нуля лишь в тех случаях, когда определитель, составленный из коэффициентов уравнений, обращается в нуль. Следовательно,

Из уравнения (41), называемого характеристическим уравне­ нием, определяются значения /г. Функции J и Y периодиче­ ские, и уравнение (41) имеет бесконечное множество веще­ ственных корней /г„, каждый из которых отвечает какомулибо частному решению вида (37).

В общем решении (38) число неизвестных постоянных можно уменьшить на единицу. Из (39) следует

у ^ щ = Ап И Л ( Ѵ ) П ( ^ ^ в ) - Л ( А „ / ? в) Г 0( Ѵ ) = і / 0( Ѵ ) -

Тогда

Поскольку распределение температур вначальный момент представлено рядом, членами которого являются комбина­ ции бесселевых функций, предполагается, что ряд можно ин­ тегрировать почленно. Умножим левую и правую части (42) на rV0(kmr)dr и проинтегрируем от RB до Яи. Так* как Ѳ0 = = const, имеем:

44

Не приводя здесь доказательства, укажем, что при т ф п все интегралы правой части (43) обращаются в пуль; конечные значения интеграл имеет лишь при т — п. Тогда

Из формул интегрирования функций Бесселя и произвольных' линейных комбинаций этих функций [19] следует:

? r V *(КП <*г = *\Я [ ИЛ V ) +-V7 (Кг)] =

к к

следует

Л (КЪ) = Jo (КЪ) у о (КЪ) - Jo (КЪ) Y0 (КЪ)-

Из характеристического уравнения (41) вытекает

Jp [kgRв) К {knRu)

Уо(КЪ) = "Л(kt/Rn)

Подставив в выражение Ѵй(/г71/?„) значение Yo(KRo), за­ пишем

Одно из свойств бесселевых функций выражается (см. напри­ мер [20]) соотношением

J\ (z)Y0( z )~ Jo (z )Y ,(z )^^ .

45

Подстановка в (44') значений V0(knRn) и V\(knRв) дает

Интеграл в левой части (43'), согласно формулам интегриро­ вания функций Бесселя [19], выражается следующим об­ разом:

Подставив значения интегралов в (43') и решая -относитель­ но Ап, получим:

Внесем выражение Ап в (38"); тогда формула, описывающая в рассматриваемых условиях распределения по радиусу и времени избыточных температур стенок цилиндра, прини­ мает вид

замену в (48), получим выражение для относительной избы­ точной температуры в такой форме:

4б

Применим полученную формулу для расчета полей избы­ точных температур в стенке паропровода высокого давления блоков 300 МВт. Размеры поперечного сечения паропровода 0 245/45 мм; следовательно, RB= ll,b мм, m = Rj,jRB= 1,58. Коэффициент температуропроводности стали 15Х1М1Ф а »

Пусть в паропровод поступает среда, вызывающая резкое охлаждение внутренней поверхности стенки: Тс</ Т0 и б ]> 0. Результаты расчета относительных избыточных температур

Рие. 10. Распределение по радиусу относитель­ ных інзбыточных температур

представлены кривыми на рис. 10 и 11. На рис. 10 приведено распределение б- вдоль радиуса в различные отрезки времени, отсчитываемые от момента мгновенного охлаждения внутрен-