Файл: Вайсман М.Д. Режимы и способы пуска блоков сверхкритического давления учеб. пособие.pdf

В окружном направлении размеры элемента изменяются пропорционально соответствующим радиусам. В таком слу­ чае, относительную деформацию в тангенциальном направле­ нии можно выразить, с точностью до бесконечно малых вели­ чин, в виде ' I

Перепишем соотношения (2) и (3) в обозначениях рас­ сматриваемой задачи и внесем в них значения ь> и s;; по­ лучим:

,(5),

Из выражений (1) и (5) получаем уравнение для определе­ ния и:

на внешней и внутренней поверхностях цилиндра, где давле­ ния, а следовательно и радиальные напряжения, заданы. Подставляя значения и по (7) в (5), находим:

Принимая, как обычно, напряжения растяжения положи­ тельными, а сжатия ---отрицательными, имеем для радиаль­ ных напряжений на внутренней и наружной поверхностях:

34

Из соотношений (10) и (8) находим значения постоянных интегрирования:

ражения для нормальных радиальных н тангенциальных на­ пряжений:

мают вид:

Как видно из (12'), при наличии только внутреннего дав­ ления радиальные напряжения всегда сжимающие, а танген­ циальные растягивающие.

Наибольшие растягивающие напряжения возникают на внутренней поверхности цилиндра: при r = RB они равны

и всегда превышают по абсолютной величине внутреннее дав­ ление. Минимальные at действуют по наружной поверхности (г — Ял). Отношение

растет с увеличением толщины стенки.

Общее выражение, описывающее деформацию цилиндра, получим из (7), подставив в него значения постоянных Сі и

)

значительно удален от его концов. Температурное поле стен­ ки в поперечных сечениях цилиндра полагаем осесимметрич­ ным, а в направлении продольной оси температура (на фик­ сированном радиусе)•сохраняется постоянной. В этих усло­ виях деформации поперечных сечений выделенного участка цилиндра также симметричны и их относительные значения в радиальном и окружном направлениях выражаются зави­ симостями (3) и (4).

При нагреве, или охлаждении, возникают деформации вдоль продольной оси цилиндра.

Рассмотрим тот случай, когда торцы цилиндра не защем­ лены и он может свободно деформироваться в продольном направлении. В близких условиях находятся, в частности, снабженные компенсаторами станционные паропроводы. При принятых ограничениях поперечные сечения цилиндра оста­ ются. плоскими, т. е. относительные удлинения в направлении продольной оси постоянны.

Длины отрезков вдоль оси обозначим через z, а переме­ щения в этом направлении w. Тогда относительная деформа­

Запишем известные из курса «Сопротивление материалов» соотношения между относительными деформациями и напря­ жениями при растяжении или сжатии по трем взаимно пер­ пендикулярным направлениям.

Следует иметь в виду, что в рассматриваемой задаче ве­ личина относительной деформации определяется как измене­ нием температуры, так и возникающими при этом напряже­ ниями.

Обозначим через 0 разность между температурой t в про­ извольной точке цилиндра и заданной температурой его внут­ ренней или наружной поверхности t(.\

Коэффициент температурного расширения материала ци­ линдра обозначим ß.

36

\

поверхностях цилиндра. Если цилиндр не подвержен меха­ ническим воздействиям и напряжения вызваны лишь неодно­ родностью температурного поля, то

(ar)r-/?B= 0 и (.о,), _ *н = 0.

C-i — ■

\ irdr■

38