Файл: Арышенский Ю.М. Теория листовой штамповки анизотропных материалов.pdf

Рис. 1.10. Экспериментальное подтверждение независимости связей сг, = Ф(еі) от вида де­ формированного состояния

Рис. 1.11. Экспериментальное подтвержде­ ние инвариантности 0 , = Ф(е,) на трубча­ тых образцах из сплава ВТЗ

40

формулам анизотропного тела показали их практическую сходи­ мость.

Для удобства использования в уравнениях теории пластич­ ности кривые упрочнения обычно аппроксимируют определенной

щих функции, отражающих диаграммы деформирования раз­

Отсюда можно сделать вывод о том, что при указанных ус­ ловиях характер упрочнения материала не зависит от рассмат­ риваемого направления. Кроме того,

В заключение отметим, что проведенные эксперименты под­ твердили гипотезу независимости диаграммы деформирования от вида напряженного состояния.

Поверхность пластичности и ее изменение

взависимости от величины деформации

Для геометрической интерпретации запишем условие пла­

стичности через главные напряжения

41

Рис. 1.12. Эллипсы пластичности при различных де­ формациях, построенные с учетом и без учета анизо­ тропии

а‘. —Ѵ і12і ~}/Г(аі а2)2+ (— ~ 1J (32-“°з)2+ (~ —1) (аз аі)2•

Поверхность пластичности будем рассматривать в опреде­ ленный фиксированный момент, поэтому интенсивность напря­ жений численно равна соответствующему пределу текучести.

Используя обычные приемы аналитической геометрии [2], нетрудно установить, что поверхность текучести представляет собой эллиптический цилиндр неограниченной длины. Ось ци­ линдра равнонаклонена к осям главных напряжений (коорди­ натные оси) и проходит через их начало. Рассмотрим сечение поверхности плоскостью сгз= 0 . Тогда уравнение кривой примет вид

42

Глав а II

НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ИНЖЕНЕРНЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА

ПРОЦЕССОВ ЛИСТОВОЙ ШТАМПОВКИ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Для решения задач современная деформационная теория пластичности, точнее — теория малых упругопластических де­ формаций изотропных сред, располагает [9], [15]

тремя уравнениями статического равновесия

Если рассматривать состояние равновесия и не использо­ вать компоненты смещения, то взамен шести геометрических

44

соотношений можно использовать первую группу уравнений не­ разрывности.

В некоторых случаях вместо шести физических уравнений применяется условие пластичности. Его форма определяется при­ нятой гипотезой начала текучести материала.

Для анизотропных тел количество неизвестных и число урав­ нений остаются такими же, как и у изотропного материала, что создает предпосылки к использованию их в теоретических рас­ четах процессов обработки давлением. Причем соотношения (2 .1 ) и (2 .2 ), выраженные с помощью полевых тензоров, явля­

ются общими для изотропных и анизотропных сред.

Остальные уравнения включают в себя материальные тензо­ ры, следовательно, они будут Иметь различный вид в случаях учета или неучета анизотропии.

Математическая теория пластичности дает необходимый комплекс уравнений и устанавливает общую методику решения задач, связанных с формоизменением металлаОднако решение возникающей при этом сложной системы нелинейных диффе­ ренциальных уравнений в частных производных связано со зна­ чительными, иногда непреодолимыми трудностями. Приходится прибегать к целому ряду упрощений математического, геомет­ рического и физического характера. Одним из основных упро­ щений является сведение задачи к плоской или осесимметрич­ ной.

§ 2. I. ПЛОСКОЕ ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

Теория плоской деформации изотропного тела является наи­

приходится рассматривать три возможных случая связи между напряжениями

45