Файл: Арышенский Ю.М. Теория листовой штамповки анизотропных материалов.pdf

При этом модули пластичности Е\ связаны между собой следующим'образом:

где Еі — модули Юнга по главным направлениям анизотропии; I/и — коэффициенты Пуассона.

Отсюда видно, что в основу теории упругости и деформаци­ онной теории пластичности ортотрогіных сред можно положить зависимость аналогичной формы записи.

Далее, как показал А. А. Ильюшин [13], интенсивность на­ пряжений, возникающая в теле при любой деформации (упругой или пластической), для каждого материала есть определенная непрерывная функция интенсивности деформаций Оі— Ф(еі). В упругой области она имеет вид а — Ееь а в пластической аі=Е'еі. Это касалось изотропных сред.

Ортотропное тело имеет три главных направления, в каждом

и в пластической области.

Запись уравнений теории пластичности с помощью трех мо­ дулей является удобной при решении конкретных задач, особен­ но если это решение учитывает и упругие деформации. •

§ 1.5. ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ ОРТОТРОПНОЙ СРЕДЫ

(н а п р я ж е н и е сз3 с о в п а д а е т с г л а в н о й о с ь ю а н и зо т р о п и и )

При анализе большинства операций листовой штамповки можно принять допущение о том, что напряжение, направлен­ ное по толщине материала, будет всегда оставаться перпендику­ лярным плоскости полуфабриката или иметь отклонение, кото­ рым для технологических расчетов можно пренебречь.

Наложение такого условия приведет к тому, что а3і = сг2з= 0 и условие пластичности в основных осях симметрии запишется следующим образом:

27

Можно воспользоваться уже выведенными уравнениями, при­ няв В НИХ 023== Озі= ОИ 623^—Ьзі== О*

Однако применение подобных формул при анализе операций листовой штамповки приводит к определенным затруднениям, так как коэффициенты ц2 и ц3 определить не удается.

В связи с этим можно предложить другой путь. Он заклю­ чается в использовании при выводе основных уравнений теории инвариантов, полученных путем преобразования компонент ма­ териального тензора при повороте вокруг оси 3.

Укажем на некоторые из них:

Так, например, Kim - — 4tt --2—12 . При изотропном материале

?i

5

Весь вывод основных соотношений теории сделан в предпо­ ложении существования тензора анизотропии (материального тензора). Это положение необходимо подтвердить эксперимен­ тально, путем проверки существования инвариантов, не исполь­ зованных в записях выведенных уравнений.

С этой целью проведем экспериментальную проверку инва­ рианта t'o

где

под углом 45° к произвольным осям.

28

Данные таблицы 3, составленной по нашим работам и иссле­ дованиям Тульского политехнического института [11], подтвер­ ждают существование инварианта ф, что позволяет сделать вы­ вод о правомерности записи основных уравнений теории в тен­ зорной форме. Некоторое расхождение в значениях і0, вычислен­ ных в главных и произвольных осях, объясняется погрешностью, сделанной при определении р.

Таким образом, Все составляющие материального тензора выражены через коэффициенты поперечной деформации.

Попутно отметим, что если раньше инвариант іі был постоян-

29

Чисто линейное напряженное состояние простым стандарт­ ным испытанием на растяжение можно создать только в образ­

Тогда уравнения связи между напряжениями и деформациями примут вид

£п = ^ (/Сип о,і + 2Кп\2 оіг)

е 22 = ^ (/С п 2 2 О ц + 2 /С 2 2 1 2 0 , 2 )

и т. С этой целью воспользуемся записью К 1212 через тот и дру­ гой коэффициент.

В результате незначительных преобразований найдем

2т — ѵ( 1 + /и)

'Ч - 2 — 1/(1 + /71) •

30