Файл: Тихомиров В.И. Линейное программирование в организации и планировании путевого хозяйства конспект лекций для студентов специальности Стр-во ж. д., путь и путевое хоз-во учеб. пособие.pdf

называется вектор, все координаты которого представляют со­ бой сумму одноименных координат векторов слагаемых, т. е.

щим координатам вектора а, умноженным на это число, т. е.

К а = (К а,, Ко.,, . . . . К а„).

Вектор, все координаты которого равны нулю, называется нуль-вектором и обозначается через 0. Таким образом

0 = (0 ,0 ,..., 0).

Очевидно, что 0а = 0 и а + 0 = а. Разность двух «-мерных векторов

есть вектор, все координаты которого представляют собой раз­ ность одноименных координат векторов вычитаемых, т. е.

F= (ai — Ри “а— Рг. •••» ап— Рл)‘

Как видно, действия над векторами сводятся к соответ­ ствующим действиям над числами—координатами этих век­ торов и потому будут обладать следующими основными свой­ ствами арифметических действий:

1. Переместительные свойства сложения и умножения ■число:

число:

a -г Р + / = (о- + Р) + / = о. + (р + /)

и

К , К 3* = К , (/с2 а) = (/С, -/С,) а.

Указанные свойства позволяют производить над векторами различные преобразования (раскрытие скобок, группировка

16

членов, перенос членов из одной части равенства в другую н т. д.); подобные преобразованиям алгебраических выра­ жений.

Пр и ме р .

Решить векторное уравнение

2 а — 3 х b = 2 .V-|- с,

где а = ( 1, 3, 2); Ь = ( 1, 0, 1) и'с=(0, 0, 1).

Р е ш е н и е . Перенеся член с неизвестным вектором в пра­ вую часть уравнения, а с известными — в левую часть, получим

2а-\- Ь — с ~ 2х Зх = 5х.

Выполнив в левой части соответствующие действия,

Множество всевозможных п-м^рных векторов (или точек), над которыми выполнимы указанные действия, образуют п-мерное векторное или линейное пространство. Используем понятие п-мерных векторов для компактной записи системы линейных уравнений (10).

Для этого введем ‘/«-мерные векторы-коэффициенты:

коэффициенты при одном неизвестном во всех т уравнениях

ЭКЗЕМПЛЯР I

системы (10). Введем, также m-мерный вектор—свободный член

,b = (61( ЬЛ1 • • •, b[9 .»., ^т ).

Тогда систему (10) можно записать в виде одного векторного уравнения

fli *i + Q-1 х3+ ... + ак хк + ... + ап хп = Ь.

§3. Матрицы

1.Матрицы и ее элементы

Система mn чисел (действительных или комплексных), расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержа­ щей пг строк и п столбцов, называется матрицей (12).

индекс i обозначает номер строки элемента, а второй /—номер его столбца.

Для матрицы (12) часто употребляют запись в таком виде:

А = [аи] (I = I, 2, . . . , т\ / = 1 , 2 , . , . , и).

или

А= \ац\ тп.

2.Различные виды матриц

Матрица-столбец. Если в матрице А число столбцов /г=1, она приобретает следующий вид:

а,

ai

(13)

18

и называется матрицей-столбцом. Второй индекс у элементов

опущен.

Для компактности записи матрицу-столбец можно пред­ ставить и так:

Квадратная матрица. Если в матрице А число строк равно числу столбцов (т = п), матрица называется квадратной:

термина «размеры матрицы» для квадратной матрицы приме­

элементы с неодинаковыми индексами равны нулю, имеет вид

и называется диагональной.