Файл: Смирнова Т.А. Определенный интеграл и его приложения.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 144
Скачиваний: 1
- 62 -
Вычислим площадь одной параболической трапеции.
Предположим, что основанием параболической трапеции слу
жит интервал |
[~Н, |
h,] |
, симметричный относительно нача |
||||||||
|
|
|
|
|
|
ла координат. Уравнение |
п а |
||||
|
|
|
|
|
|
раболы |
с |
осью |
параллельной |
||
\ |
|
|
|
|
|
оси О У имеет |
вид |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уцон. |
|
|
|
W |
Искомая |
площадь параболичес |
|||||
|
|
|
|
|
|
кой трапеции |
равна: |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-к |
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
|
|
|
определяются из |
условий |
||||||
прохождения параболы через начальную «очку |
дуги |
( -А- |
, |
||||||||
if |
) , |
через |
ее |
среднюю |
точку |
( |
0, Î/ |
|
|
|
|
-'иач. |
точку |
( |
/г ' |
J icon. |
) : |
|
|
|
|
|
|
конечную |
|
|
|
|
|
||||||
при |
J C = - k |
|
У |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
\ |
1 |
|
|
|
|
|
при |
|
£= |
0 |
|
|
- с |
|
|
|
|
|
при |
|
Х = к |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4P». |
|
|
|
|
|
|
Откуда вытекает, что |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
•у |
|
|
|
=Ык;+ес, |
• |
|
|
||
|
|
как |
|
кон. |
|
|
|
|
|
||
тогда площадь параболической трапеции будет равна
I
- 63 -
[h |
*чч + 4 ) |
I - W |
JCf. J « W . |
Эта формула справедлива для параболической трапеции с лю бым основанием, не симметричным относительно начала коор динат. Действительно, площадь такой трапеции неизменится, если перенести ее параллельно самой себе вдоль оси тан, чтобы середина основания совпала с началом координат.
Возвращаясь |
к |
первоначальной задаче, найдем |
по этой форму |
|
ле |
площадь |
$ |
, параболической трапеции, |
опирающейся |
на |
интервалы |
|
|
|
и, Аналогично выражаются площади
последующих параболических трапеций:
Сложив почленно все эти равенства, получим выражение,
- б о
дающее приближенное значение рассматриваемого интеграла:
а
Это и есть формула параболических трапеций (формула Симпсона). Погрешность для формулы параболических трапе ций можно оценить по формуле
где м ч |
- наибольшее значение |
Если |
при приближенном интегрировании задаться опре |
деленной степенью точности, то приведенные оценки погреш
ностей позволяют |
найти |
значение |
И. |
, |
обеспечивающее |
|||
эту |
точность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что |
для |
вычисления |
с заданной |
степенью |
точ |
||
ности по формуле |
прямоугольников |
надо, |
как правило, |
взять |
||||
большее число точек деления, чем |
при вычислении с той же |
|||||||
степенью точности |
по формуле трапеций,' |
а |
для |
вычисления |
||||
с помощью формулы трапеций - большее число точек, чем' |
||||||||
для |
вычисления с |
той же степенью |
точности по |
формуле |
|
|||
Симпсона. Если же мы во всех трех формулах будем произ
водить вычисления с одним и тем же числом точек деления,
то формула Симпсона дает обычно значительно более точный
резжльтат, чем |
формула трапеций, а формула трапеций - |
|
более точный, |
чем |
формула прямоугольников. |
' і и и е р . Вычислить |
приближенно |
|
|
|
65 |
- |
|
|
РЕШЕНИЕ. Разделим |
интервал |
ft), } ] на 10 рав |
|||
ных |
частей . |
W = o,i ; i |
L |
5 1 |
|
|
|
||||
|
і |
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,90909 |
4° |
I |
|
|
% |
0,76923 |
|
0,50000 |
|
|
fr |
0,66667 |
|
1,50000 |
|
|
.4' |
0,5082ч |
|
|
|
|
0,52631 |
|
|
|
|
|
V« |
|
|
|
|
|
G", |
3,4595t |
|
|
|
|
|
|
У» |
0,83333 |
|
|
о; |
1,50000 |
|
|
|
|
|
|
|
0,71429 |
|
|
|
13,83816 |
|
0,62500 |
|
|
|
5,45636 |
Ht |
0,55556 |
|
|
Г |
20,79ч52 |
|
2,72818 |
|
|
||
в , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ftt 2 аг-у- |
= " T " 2Ö,WW2*0,693/5". |
|||
При том не числе делений по формуле |
трапеций |
|
мы бы получили |
l i t 2 * 0,69377. На самом |
|
же деле |
0,69314718... Таким |
образом, |
более точный результат дает формула Сймпсона. Точно так se можно вычислить j T = Ч I — 3 ûfcc~--
J l+X
- 66 -
ІУ . Н Е С О Б С Т В Е Н Н Ы Е И Н Т Е Г Р А Л Ы
Понятие определенного интеграла было установлено
для конечного |
интервала f < A , 6 j |
и Непрерывной |
на нем |
|
функции |
Цх) |
. Однако, нередно |
встречается |
необходи- |
|
|
|
|
і |
мость обобщения понятия определенного интеграла на случай бесконечного интервала и на случай неограниченной функции.
ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕД ЕМКИ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пусть |
функция |
j - f j t ) |
|
|
определена |
н |
непрерывна |
|||||||||
для всех |
значений |
Х ^ С І |
, |
т . е .. для |
|
|
Х< |
|
°° |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Тогда интеграл |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет смысл длявсякого |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 > |
Ü |
|
|
и |
является |
||||
|
|
|
|
|
|
зе. |
функцией |
|
от |
5 |
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
При |
Ь-* |
|
|
|
'этот |
интег |
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
рал |
может |
|
стремиться к |
||||||
конечному |
пределу, |
но |
может |
и |
не |
стремиться |
ни |
к |
какому |
|||||||
пределу или стремиться |
к . «> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. |
ІІШ |
f f W r f x |
|
н а з ы в |
а е |
т с |
я |
" |
||||||||
н е с о б с т в е н н ы м |
|
и н т е г р а л о м |
|
|
о т |
|||||||||||
ф у н к ц и и |
f |
(з) |
и |
|
о |
б о |
з н |
а |
ч |
а е |
т |
с |
я |
|||