Файл: Смирнова Т.А. Определенный интеграл и его приложения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 31.07.2024

Просмотров: 143

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- 47 -

Т . к .

то окончательно

ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН ДУГ ПЛОСКИХ КРИВЫХ

 

 

Рассмотрим

дугу

ЛЬ

кривой

lj =

f[x.)

,

зак ­

 

 

 

люченную

между верти­

 

 

 

кальными

прямыми

 

 

 

 

Z~CL

 

и

хЛ

.

 

 

 

Разобьем

эту дугу

на

 

 

 

К

частей

точками

 

 

 

M

 

fil

 

 

 

 

 

M.

с

абсциссами

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

Я?ч

ч

проведем

хор­

ды ß.Mf , М4

АСг

,

. Длины

хорд

обозначим

 

через

-би. ; т . е .

Щ^й.=Ік,{Ы,г,.~Л)

 

 

 

-

48

-

 

 

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Д л и н о й

t

 

д у г и

fi

в

н а з ы ­

в а е т с я

п р е д е л ,

 

к

 

к о т о р о м у

 

с т р е м и т с я

д л и н а

 

л о м а н о й

л и ­

н и и ,

в п и с а н н о й

 

в

 

э т у

д у г у

п р и

н е о г р а н и ч е н н о м

 

 

у в е л и ч е н и и

 

ч и с л а

з в е н ь е в

 

и

п р и

с т р е м л е ­

н и и

к

н у л ю

н а и б о л ь ш е г о

и з

н и х ,

т . е .

 

 

 

 

 

 

 

''

 

 

 

 

' • • Й Й . É

 

* *

• .

 

 

 

Длина

звена

ломаной

 

 

 

 

 

 

 

 

По теореме Лагранжа

где Х'к <

.

Следовательно,

^ = ^ + / ^ Y y j 5 '

A ^ C K '

и длина ломаной будет равна

Правая часть этого равенства является интегральной сум­ мой для функции у i+[L'[\£) jf* • в интервале [(X,bJ <

 

 

 

 

-

49 -

 

 

 

 

 

Буден счистать,

что функция

ßl'X)

и ее производная

{(*}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

непрерывны

в

интервале

 

 

. Тогда и

функция

/ і + І ^

( i j

j

ä

непрерывна

в

[\1,Ь~]

и пре­

дел ее интегральной суммы существует

и равен

определенно­

му интегралу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак,

по определении,

 

 

 

 

 

 

 

 

и-

 

 

 

 

 

 

 

 

•£ = ІІІМ,

^и;

 

 

(когда

 

В^—— 0

, то его

ѵ\лах йХк_.0

 

 

проекция

на ось V~L

 

 

также

— О

) ,

 

 

 

 

 

і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%

 

 

 

 

 

 

Если

кривая

задана

параметрическими

 

уравнениями

Z = f f è ) и

|f = f

 

,

где yf*j

 

и

f[t)

-

непрерывны и дифференцируемы в некотором интервале, тогда

dx-tfl)di, dy-f(t)dl

U t y t f t e J i ' f ä ' d x

- f [dtp-Id,

f.

Следовательно,

- 50 -

Ч

1 = JViSy1 '^.

*1 Если кривая задана уравнением ^ = ^ ( Ѵ ) в

полярной, системе и нужно найти длину ее дуги в интервале

^ І » 1

'

т о

Ф°РИ УЛ Ы перехода

от полярных коорди­

нат к декартовым

,

y=//yj^y

 

или

соответствующую

можно

рассматривать,

Х=£(Ч}

fol*!

 

 

как параметрические

уравнения этой

Кривой

и применить,

 

 

формулу.

 

 

т.к. ^

= / ' ^ 0 р г у - д а ^ у

«

то

Y.

-

51

-

 

 

 

Примеры. I ) . Найти длину

цепной

линии

 

[| = i . j £

4 - е

 

/

в интервале

f t ^ l t ]

РЕШЕНИЕ. Т . к .

 

 

 

ЯГ )

. то

и.

о

- . • ( « . t J - i . i ) = i i f e l i ! .

2 ) . Найти длину одной арки циклоиды

x = a[t-iintj

\J*Q.[l-Co!t) (&tD)

РЕШЕНИЕ. Т . к .

х=а {{- Coït]

х=2тга ос

то

- 52

-

•в-

 

о

гт

2F

о 21Г

fît 0

3 ) . Найти длину кардиоиды Ç-CL [i+Cosyj (ä^O)

Р Е Ш Е Н И Е , т.к. p^-a^t/iy,

то

о

Т

• =af 1^2+2 (bjy'dy

г

г

 

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

 

 

Пусть наи дана поверхность, образованная враще­

нием

дуги

 

кривой

у = j-(XJ

вокруг

оси ОХ .

Определим площадь этой поверхности. Функцис

 

f (Х)

и

ее производную

[х]

будем считать непрерывными

в

каждой точке

интервала

[й,І?]

. Разделим

дугу

на

П-

частей

точками JU.

, М.

1С.

,

с абсцис-

-53 -

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

 

З а

в е л и ч и н у

п л о щ а д и

п о в е р х н о с т и ,

о п и с ы в а е м о й

п р и

в р а щ е н и и

д у г и

 

 

к р и в о й ,

в о к ­

р у г

н е к о т о р о й

о с и ,

п р и н и м а е т ­

с я

п р е д е л ,

к

к о т о р о м у

с т р е м и т ­

с я

п л о щ а д ь

 

п о в е р х н о с т и

 

в р а щ е ­

н и я

л о м а н о й

 

л и н и и ,

в п и с а н н о й

в

э т у

д у г у ,

 

п р и

 

н е о г р а н и ч е н н о м

у в е л и ч е н и и

 

ч и с л а

 

з в е н ь е в

и

п р и

с т р е м л е н и и

к

 

н у л ю

д л и н ы

н а и б о л ь ш е г о

 

и з

 

н и х .

 

 

 

Обозначим

длину

хорды - ^ к _ ,

 

через

^ К

. Каж­

дая хорда при

вращении

опишет.усеченный конус,

поверх­

ность

которого

равна

 

 

 

 

 

 

 

 

i't

 

 

 

і „

•

< «=іл,...,

 

>

а тогда площадь

поверхности,

описанная при

враще­

нии вокруг оси ОХ

всей ломаной,

определится

форму-

Смотрите также файлы