Файл: Смирнова Т.А. Определенный интеграл и его приложения.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 136
Скачиваний: 1
--
лой:
Длина звена лоианой _
По теореые Лагранжа
где
и
Площадь |
поверхности |
вращения |
|
||
rt- |
DO |
И. |
1 3 0 |
-£ |
|
|
|
о |
|
' |
. |
- 55 -
Суммы, стоящие здесь под знаком предела, не являются ин
тегральными суммами, т . к . в каждой, из них фигурируют две
различные |
точки |
интервала |
& X * |
(точки |
Х„. { |
|
и ^ - |
||||||
в первой |
сумме |
и точки |
Хк |
и |
^ щ |
- |
во |
второй). |
Одна |
||||
ко, т . н . функция |
|
|
непрерывна |
на |
интервале |
|
[0-,Ь~\, |
||||||
то при достаточно |
мелком |
разбиении |
^ |
|
{ ) |
и |
£ |
(^-^) |
|||||
мало отличаются |
от |
/ |
f ^ |
) |
• |
Следовательно, |
и |
суммы |
|||||
и
мало отличаются от суммы
Если число звеньев ломаной неограниченно увеличивается
и И і Л Х /1 - ~ Ö , то
fo* t. f W ' W 7 ^ ^
и
- 56 -
Итак,
Теперь сумма, стоящая под знаком предела, является ин
тегральной суммой для функции £ (х)і/ІХ)*' |
на |
; следовательно ее предел равен определенному |
|
интегралу |
|
Q = 2 # f |
tlxjfi+lflx)]* |
dx |
CL |
|
|
или |
|
|
6 |
f . |
|
Пример, Вычислить поверхность тора, |
полученного |
при вра |
||
щении |
окружности |
X |
= R |
, |
где |
I1 < Р < (I |
, вокруг |
оси ОХ , |
|
РЕШЕНИЕ. Искомая поверхность сложится иа поверх ности, образованной вращением верхней полуокруж ности вокруг оси ОХ , и гэ поверхности, обра зованной вращением няпнеЯ полуокружности.
Разрешая уравнение заданной акружиости от- ^ , получим
- 57 -
для верхней полуокруяности и
для нижней. Производные этих функ ций соответственно равны:
-X
Ï . fr-
X
X1
Искоиая поверхность
-я
I R
|
- 58 |
- |
I I I . ПРИБЛИЖЁННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ |
||
|
ИНТЕГРАЛОВ |
|
При вычислении определенных интеграции нередио |
||
приходится |
сталкиваться с одной из следующих трудностей: |
|
1) |
соответствующий неопределенный интеграл не вы |
|
ражается через элементарные |
функции в конечном виде, или |
|
2) |
неизвестно выражается он через элементарные |
|
функции или не выражается, а попытки использовать знако
мые приемы интегрирования не достигает цели, |
или |
3) процесс вычисления .неопределенного |
интеграла |
оказывается слишком громоздким и потому неудобным. |
|
В таких случаях пользуются приближенными методами вычисления, обеспечивающими достаточную точность резуль тата .
Рассмотрим некоторые из ѳтих методов.
ФОРМУЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ |
|
|
Пусть дана |
функция lj=j-^J |
, непрерывная и |
иятеовале [іІ,Ь~] |
и требуется вычислить |
интеграл |
|
Б |
|
Разделии интервал f u , ê j |
точками |
Й=.Т„ |
|
, |
Л*., |
, .Л' |
||||
Х} |
|
Х- |
5 |
на И |
равных частей |
длины |
Д.Х |
: |
||
|
Ь CL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д Х ~ - — ^ — |
. |
Обозначим |
далее через |
1/о |
, |
і/( |
, |
ij^ |
||
. . . . |
|
значения |
функции $-(х) |
в точках |
Х„ , |
J'{ |
||||
.... |
Хк |
, т . е . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим сумма
LjjX^JX |
+ ^àX^ |
IJH.^X |
и
Каждая из этих сумм является интегральной суммой для функции f(x) на интервале [Ч,$] и поэтому прибли
женно выражает интегоал:
• г
•и
й
Это и есть формулн прямоугольников. Вычисление определен ных интегралов но этим формулам геометрически означает, что мы площчди члвментзрных полосгк заменяем ллиіад.о';' соответствующих прямоугольников. Ошибка ^десь будет тем
иеиьше, ѵ м больше Н. , т . е . меныш? ira г деления Л'*'
Погрешность результата, полученного по формуле прямоуголь ников, можно оценить по формуле
|
|
|
|
|
|
і 1 |
|
|
|
где |
- |
наибольшее значение |
I f ' W / |
в |
интерва- |
||||
ле [а,Ь] |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«ОРМШ ТРАПЩИЙ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Более |
точный |
результат |
|
||
|
|
|
|
(при |
фиксированном |
Я |
) |
||
|
|
|
|
мы получим, |
запенив кривую |
||||
|
|
|
|
(j= |
j- |
Iх) |
не |
ступен |
|
|
|
|
|
чатой |
линией, как |
это |
было |
||
|
|
|
|
в |
формуле прямоугольников, |
||||
I — 1 — 1 |
1 |
1 |
1 —і—к |
" |
|
|
|
|
|
х0=а *, |
Xj, > • • |
*и-і *гі*в |
* а |
вписанной |
ломаной. Таким |
||||
|
|
|
|
образом, каждую из элемен |
|||||
тарных полосок мы заменяем соответствующей |
трапецией. |
||||||||
Т . к . сумма |
площадей этих |
трапеций равна |
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то Е
if
Эта и есть формула трапеций. Погрешность для формулы трапеций можно оценить по формуле
|
|
|
|
|
|
|
- |
61 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
I |
M 1 |
« , , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
- |
наибольшее |
значение |
|
|
|
|
|
в |
интервале |
||||||
|
|
|
ФОРМУЛА ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ТРАПЕЦИЙ |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
(Фориула Сиипсона) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Разобьем |
интервал |
^ Й , $J |
на |
четное |
число |
|
|||||||||
lt-ll+t |
равных |
частей. |
Заменим |
дугу |
|
|
Л^Л(-г |
кривой |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JW |
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V , |
|
|
|
соответствующую |
двум |
интервалам |
/ ^ „ . C C j |
|
|
и |
, |
|
||||||||||
дугой |
параболы, |
проходящей |
через |
три |
точки |
JlL,(XB,tja) |
• |
|||||||||||
|
I |
|
' У/і |
* |
|
/~*"2 ' ^г/ |
и и |
м |
е г ш е |
й |
о с |
ь |
симметрии |
|
||||
параллельную |
оси |
О У . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Подобные замены произведем также в каждой следую |
|
|||||||||||||||
щей паре интервалов. Тогда заданная криволинейная тра |
|
|||||||||||||||||
пеция |
заменится |
параболическими трапециями, |
число |
кото- |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рых |
будет |
|
-с- |
• Сумма |
площадей |
|
этих |
параболичес |
|
|||||||||
ких |
трапеций |
и дает |
приближенное |
значение |
интеграла |
|
||||||||||||
\fix)dz.
