Файл: Смирнова Т.А. Определенный интеграл и его приложения.pdf

- ч -

или

Sn=tf(xJäX„

.

тервалов и,

следовательно,

при

h.—- о<э .

mo.1 Л: - • О

Снова решение задачи свелось к

вычислению предела ухе зна ­

комого нам

вида.

Ножно еще рассмотреть

иного

геометрических, физичес­

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Пусть задана функция f(JC)

,

непрерывная

в замкну­

том интервале

[0.,Ь]

конечной

длины

и пусть

й<

^

Разделим этот

интервал

произвольным

способом

на

I t эле ­

&ХЙ

( K " H , 2 , . . . , f t

) .

щ

л х ,

л х г

д х

3

а—I—в

ДТСП

1 о-ч ѳ—I—«

1

м9 fc

Выберем теперь внутри или на границе

каждого

элементарно­

го гнтепвала

точку

с абсциссой

X f

( К - іг

2 , . . . И

),

-

5

-

вычислим

значения функции

f

(X)

в

этих точках,

т . е . най­

дем / ( X j

. f(X2)

>•••>

и составим

сумму

произведений этих значений на длины

соответствующих эле ­

ментарных

интервалов:

Эта

сумма

навивается

и н т е г р а л ь

н о

й

с у м ­

м о й , составленной

для функции

f(^)

в

интервале

.

Рассмотрим теперь предел интегральной суммы при неог-

раниченвон

увеличении

чиола

IX

элементарных

интерва­

лов

и'при

стремлении

к нулп

наибольшего

из

них,

т . е .

функции

^ (х)

в интервале

[о.,Ь] ,

ОПРіДВіШЕ.

О п р е д е л е н н ы м

и н т е г ­

р а л о м

о т

ф у н к ц и и

f

(%]

в

и н т е р ­

в а л е

jTci.SJ

н а з ы

в а е

т с

я

п р е д е л

и н т е г р а л ь н о й

с у м м ы . с о с т а в л е н -

н о і

д л я f f l )

в

и н т е р в а л е

п р и

н е о г р а н и ч е н н о м

у в е л и ч е ­

н и и

ч и с л а

э л е м е н т а р н ы х

и н т е р -

-

б

-

в a і о в

и

п р и

с т р е м л е н и и

к

н у ­

л и

н а и б о л ь ш е г о

и з

н и х .

Определенный

интеграл

от

функции

f($)

в

интерва-

ле

[а,Ь]

обозначается

символом

т . е .

а

ь

h.

$(з)~

подинтегральная

функция,

Х-

подинтегральное

выражение,

Cl

-

нижний

предел,

Ь

-

верхний предел,

JC

-

переменная

интегрирования.

Заметим, что

для данной

функции

на

данной

интервале

[ & ,

можно

составить бесчисленное

множест­

во

интегральных

сумм, т . к .

способ разбиения

интервала

f Q , ß J

на

элементарные

интервалы

и

выбор

в них

точек

JC^

-

произвольны.

и<СЦс Д Х~>-0

?

к

2) . Не

будет ли этот предел (если

он существует)

зависеть

от

способа разбиения

интервала

f o . , 6 ] на элементар­

ные

интервалы

Л' ЗС

" и от выбора в них точек

JC,«с

На поставленные вопросы

отвечает ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ

Е с л и

ф у н к ц и я

•f\-x)

н

е п

р е р

ы

в н а

н a

з а м к н

у т

о »

и

н

т е р в а

л

е

[a,h)

,

т о

п р е д е л

и н т е г р а л ь н о й

с у н н ы ,

п р и

с т р е м л е н и и

н а и б о л ь ш е г о

и з

э л е м е н т а р н ы х

и н т е р в а л о в

к

н у ­

л и , с у щ е с т в у е т

и

н е

з а в и с и т

н и

о т

с п о с о б а

р а з б и е н и я

и н т е р в а -

л a

[й,Ь]

н а

э

л

е м е

н

т а р н ы

е

и н т

е

р ­

в а л ы ,

н и

о т

в ы б о р а

т о ч е к

в

к а ж ­

д о м

и з

н и х .

Возвращаясь к рассмотренным

ранее

задачам, мы можем т е ­

перь записать их решения с

помощьо

определенного интег­

рала.

т

Задача I :