Файл: Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 169
Скачиваний: 0
РОСТОВСКИИ--НА-ДОНУ ОРДЕНА ТРУДОВОЮ КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
В.СРогожин
Т Е О Р И Я О П Е Р А Т О Р О В
il й Т К Р А
i973
Ш617.&
Печатается по постановлению кафедры дифференциальных и интегральных уравнений механике-математического факультета Гоотовсвого-кп-Дону ердаша Трудового Красного Знамена
госудярстренного университета
А)// |
' * |
Гос.публичная |
Щ |
|
JLZ„ |
|
|
ООО?» j |
|
|
(... — |
u a r » ' « - |
- • - * |
^ |
Ответственный, редактор H.K. Карапетяяъ |
о |
/ |
/ |
B.C. Рогожин. Теория операторов Нетера. |
|
|||
ИздвтелЬОТРО Ростовского |
университете, ]Р73. |
|||
83 с т р , |
|
|
|
|
Б книга |
изложены основа |
теории |
операторов |
Нетера,oflofinin- |
юBit ft теорию |
сингуляртшх •интегральных |
уравнений |
с идрощ типа |
|
Кошн. |
|
|
|
|
Книга предназначена дня студентов старших курсор мехаии;-" математического факултета и слушателей факультета повншеяия гнаяифыкэпии преподерателяй математики.
2^2^3
64 доп.73м
Издательство Ростовского университета, 1973 г
- 3 - Предисловие
В наотоящам руководстве ивложены основы аботрактнои теории операторов Петера в объеме, примерно соответствующем содержанию
I0~!l2 -чаоовых лекций спецкуроа |
"Теория Нетера", |
который читает- |
оя в течение, семестра студентам |
четвертого курса, |
специализирую |
щийся на кафедре дифференциальных и интегральных уравнений меха нико-математического факультета РГУ.
Предполагается, что читатель владеет основными понятиями функционального анаяива, в чаотнооти, знаком о теорией Фредголыш. Многие факты абстрактной теории операторов Катера отануа более понятными, воли воаотановить в памяти основные равделы теории сингулярных интегральных уравнений о ядром Ноши, восполь зовавшись для этого соответствующими разделами монографий
Н.И.муохелвшвили [ 1 6 ] ИЛИ Ф.Д.Гахова |
[ 8 } , |
|
|
|||
Некоторые сведения иа функционального анализа приведены в |
||||||
книге вместе о подробными ооывками на литературу. |
|
|||||
После изучения данного руководства читатель мовет присту |
||||||
пить к чтению специальной |
литературы |
По теории Нетера. С этой |
||||
целью в первую очередь следует рекомендовать фундаментальное |
||||||
исследование |
И.Ц.Гохберга |
и М.ГЛСрейиа (.5), |
монографию |
Д.Пшевор- |
||
окой-Ролевич и О.Ролевича |
[ 1 9 ] , а |
танке многочисленные |
журналь |
|||
ные статьи, |
обзор которых |
оделвн в |
книге |
[Ц], |
|
|
Автор благодарен Ф.Д.Берковичу, |
В.А.Какичеву, Н.К.Карала» |
тянцу и С.Г.Самко. Они прочитали рукопись и сделали ряд ценных замечаний, которые были учтены при составлении окончательного варианта текста.
- 4 -
Сведения иэ функционального анализа, используемые в icaurq
А.Основные понятия
|
|
1. |
Замкнутость и полнота |
[ в ] , гл . П.п.2.1, |
стр.18-19} |
||||||||||||
И . 2 . 6 , |
стр.17j |
|
ГЛ. I , | Ё , |
стр . 18, |
14, стр.29-32. |
|
|||||||||||
|
|
2, |
Банахово |
проотранотво |
[ в ^ , гл.П, п . ВИ - Е .4, |
сир.52-5? |
|||||||||||
i>3], |
|
ги.1, |
§ 2, |
отр.68-71. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Линейные |
функционала |
[ в ] , гл . П, §1, |
п.1.1,стр.96; |
|||||||||||
13,. |
гл.Ж, §3, |
стр.143-145. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4. |
Вполне |
непрерывные операторы |
[ в ] , г л . 1 5 , I 2, |
п . 2 . 1, |
|||||||||||
с т р . |
|
2/6; |
ГЛ. ХЕ, |
§ 1, |
п.1.1-1.4, оТр.439-448} |
[l3], |
гл . Ц , |
||||||||||
$ 1,2, |
отр . 261-286. |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
5. |
Сопряженное |
пространство |
8 |
р гя . Т , п.1,2, |
с т р . 1 4 5 - |
|||||||||
147} |
|
[l3], |
гл . Ж, |
§ 4, |
отр.147J ГЛ,ВГ, |
§ 3, |
стр.196-199. |
||||||||||
|
|
|
6. |
Сопряженный! оператор |
[ в ] , г л . П , |
п.3.1,3.2, |
стр« |
||||||||||
279-282; [13|, г д . И , $ 3, отр.201-204. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
7. |
Обратный оператор. Левы» |
и правый |
|
обратные опера |
||||||||||
торы |
|
[ в ] , гл . Г, |
n.2«3s |
стр . 154-158; М.Щ, |
|
п.1.1, стр.419; |
|||||||||||
[l3J |
, |
г л . Ж , § 5, |
отр* t53-157}[e], гл . 1) § 1, стр..22-27* |
||||||||||||||
|
|
8. |
Теоремы |
Фредгольма для интегральных |
уравнений |
в т о |
|||||||||||
рого |
|
рода |
[14J , |
r j i . i , |
§ 12, отр.77-80; |
[ir] , |
гл . I , |
§ 6,7, |
|||||||||
о т р . |
36-42. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
9. |
Теоремы |
Нетёра для сингулярных |
интегральных |
уравне |
||||||||||
ний о ядром Кошй |
[16J, |
гл . П, |
§ 44-54, |
стр . 156-187} |
[з|, |
||||||||||||
ГЛ.П, |
5 20-25, стр . 166-229. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
10. |
Прямая |
сумма подпространств |
|
[13] , |
гл.ТГ, |
§ 1, стр . |
||||||||
63-64; |
6 |
, |
г я . I |
, § 1, |
п.1, стр.19-22. |
|
|
|
|
|
|
|
-5 -
|
|
11. Фактор-проотранотво |
[18], |
гл . И ; |
§ i, |
стр. 64-65; |
|||||||||
[ 8 ] , |
|
гл. Ж , |
п. |
1.8, |
стр. |
420-421. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Б. |
Некоторые теоремы |
|
|
|
|
|
||||
|
|
I . |
Пуоть Т |
- |
вполне |
непрерывный |
оператор, |
действующий в |
|||||||
банаховом проотранотве |
|
о областью значений, |
принадлежащей |
||||||||||||
банахову |
пространству E f c |
. Тогда для уравнения ( I +Т)эС=1| , |
|||||||||||||
где |
I |
- |
единичный оператор, X € Е,,, Ц£. Е^, |
справедлива теория |
|||||||||||
Фредгольма [ i s ] , |
гл . Л , |
§ 2, |
стр. |
268-287. |
|
|
|
|
|||||||
|
I L |
Пусть -[ЗСы] |
- |
некоторое |
множество |
элементов |
банахова |
||||||||
пространства |
Е |
И |
{^J\ |
- |
множество |
линейных |
ограниченных |
||||||||
функционалов, |
определенных |
На пространстве |
С . |
Эти два множе |
|||||||||||
ства |
|
наоываютоя |
биортогональными, |
если |
| i ( X i ) |
= l |
при |
t - j . |
|||||||
и | |
i, ( X i ) = |
0 |
при |
I ф | |
. Имеют Место следующие утверждения: |
||||||||||
|
t. |
Пусть |
£А |
• Хр^уь.* |
|
|
- произвольная линейно-невави- |
||||||||
сяиая |
система |
элементов |
пространства £ |
, тогда существует |
биорто- |
гональйая система линейных Ограниченных функционалов, т . е . в соп
ряженном |
пространстве (~ найдутся |
такие влёментн ^ Д „ , , ^ , |
|
, что |
|
|
|
|
О |
ери i |
Ф \ |
2. |
Пусть | 4 , ^ , . . » » | ^ , - |
проиввольнай |
лянейно-невавн- |
симая |
оистема линейных ограниченных функционалов над простран |
|||
ством |
Е I |
тогда в Е |
найдутся тавив Элементы З:^ »ЗГ* |
ОС», |
для которых |
выполняются |
соотношения (0.4) [13], стр. 205*210» |
- |
6 - |
Ж. Теорема Банаха. Если линейный ограниченный оператор В |
|
отображает вое банахово |
пространство Е-) на все банахово прост |
ранство Е& взаимно однозначно, то существует линейный ограничен
ный оператор |
В |
» обратный |
оператору |
(3 |
, |
отображающий |
Е^, |
|||||||||||||||||
на Е^ [ I S ] , |
ГЛ.Ж, § |
5, |
|
стр . |
|
159. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
U . |
Пусть |
линейный |
ограниченный |
оператор В |
|
отображает бана |
|||||||||||||||||
хово |
пространство |
Е |
|
в |
себя |
и |
||В!1^^Л1 |
. Тогда |
|
оператор |
|
|||||||||||||
}+|3 |
инеет |
обратный |
линейный |
ограниченный оператор |
|
[13], |
гл . Ж, |
|||||||||||||||||
§ 5, стр. 156-157.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ж. |
Пуоть |
в банаховом |
пространстве Е |
задано |
линейное |
много |
|||||||||||||||||
образие |
) ( |
и |
элемент |
Х 0 |
€ |
|
X |
|
• |
находящийся |
на |
расстоянии |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
оущеотвует |
|
функционал |
||||||||
f |
(Х% |
определенный |
воюду |
|
на |
|
Е |
и |
такой, |
что |
\(Х)~0 |
|
|
для |
||||||||||
Х е Х » |
f- (0Со )=1 |
|
[ и ] , |
гл . П , |
§ |
I , стр. |
177| |
t e l . |
г л . И , |
|||||||||||||||
п . 2 . 8 , отр, 186. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
И, |
Боли |
для |
элемента ЗС |
банахова |
пространства |
Е. |
и |
всех |
|||||||||||||||
функционалов |
t- |
, определенных |
на этой |
пространстве, выполнено |
||||||||||||||||||||
соотношение |
|
^ ( Х ) = 0 |
|
', |
то |
9 С = 0 |
[в], |
гл . |
П , |
п . 2 . 2 , отр. 186. |
||||||||||||||
|
Ш . |
Если |
пространство |
Е |
|
бесконечномерно, |
то |
|
единичный шар |
|||||||||||||||
s Р |
не |
компактен |
[ ю ] , |
|
гл . И , |
§ |
6, |
1 ° , отр. |
222-228. |
|
|
|
||||||||||||
|
Ж . |
Если |
А |
- |
вполне |
непрерывный |
оператор, |
отображающий |
||||||||||||||||
банахово |
пространство |
Е>( |
|
в |
банахово |
пространство |
Eg/ |
, |
то |
соп |
||||||||||||||
ряженный |
оператор |
А |
|
|
, |
отображающий |
Е& |
в |
Ел> |
|
такие |
вполне |
||||||||||||
непрерывен |
[ i s ] , |
г л . XT, |
§ |
I |
, |
стр. 266-£б7; |
[ 8 ] , |
г л . |
П , |
|
п. |
З Л , |
||||||||||||
отр. |
288. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П . |
Если |
А |
- |
линейный |
ограниченный оператор, |
|
ннояество |