Файл: Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие].pdf

на гладкой эамкнутой .гривой ^

без

самопереоеченай. Пуоть

<X{t)

j ^ ( " t ) £

Н

^ '

^

• Справедливы следующие

факты:

([12], [16], [18}):

1 ° .

Оператор

является

ограниченным

во

всех пространствах!"!^

; О с ^ i;

1 •

2 ° .

Оператор

S

инволютивен: S

— 1

»

В". Оператор

С

г

м ,

при U(t)£- N^t

вполне

непрерывен во воех пространствах Ц'-^

4 ° . Если

\ T ( t ) £ - » 1 0

оператор

умножения

на функцию!/^);

гГхьггс^хш

ограничен во

воех

пространствах

Мд

о

[X

^

•

Из свойств 1° и 4°

вытекает, что оператор

В

ограничен

во

всех

пространствах

Запишем

оператор

В,

в

виде

и

рассмотри»

ш р а

д е

н > I - g S ) ( q +

g $ ) = a 1 - 6 V В Т а -г £ T g S ;

(a

I +

g S ) ( a

-

g S) =: a S

6 1 -

B T Q + B T e S .

<is.f i >

-

78

-

В: силу

свойств i°

и

Ь°

операторы

Бполне непре­

рывны в

любом

пространстве

о

<

^

. Если Ob*"—Е

=£0,

то из (15.6) следует, что

оператор

= [о&-

ё^У

(<3-б5)будет

одновременно левым и правым регуляриэатором оператора В

» т . е .

В -

оператор

Нетера,

Можно показать,

что

условие о5"— S8" ^

О

является

и необходимым

для

нетеровооти

оператора

В .

Применим

теорему

4.10

к вычислению

индекоа рассматриваемого

оаератора

В<|

•

Покажем,что втот

оператор

гомотопен (ом. § 10,

стр.

52)

оператору

Во

« имеющему

вид J

где

Yb

определяется

формулой

( ДдЧ*

- приращение.функции

Ц'СО

П Р И

полном

обходе

контура

"X. в положительном

направлении).

Семейство

операторов

о помощью которого

осуществляется

гонотопия

операторов

В с

и

В 4

,

можно

задать

следующей

формулой:

Bft)=(Ut"e*M t t )bO-t, , ea , l W )S,

^де

однозвачная

наХ.

функция

определяется соотношением

''

V,"'. ~ *

^

* Оператор

\5УЛ)

-

нетеров

для 0<^4l

,

так

как

0| д *

— Е>х

¥

О

( М л

-

I •+

• t

,

| я

=

^ _ t * e 1

M t

) ) ,

В ( о ) ^ в 0 р

в и ) - В , .

Структуру

оператора

Ц>00 легко'-понять,

если

заметить,

что

уравнениям а)

В 0 Х = ^ , б)

В „ Х = 0| и в) В Л С С = ^

соответствуют

в той не порядке

задачи Римана:

По теореме 4.10

имеем

Индекс операто­

ра Во

находим, решая

соответствующую

вадачу Римана (15.8)

методом

аналитического

продолжения

°*Р. 121 ) • он ока­

зывается

равным чиолу у\, , определенному

соотношением (15.7).

В силу взаимной однозначности соответствия между решениями

уравнений В 0 Х = ^

и задачи (15 . В), а)

-заключаем,

что и

В р - ^

,

следовательно,

тА

= - I t •

В монографии £ l 6 ]

(стр. 484-486)

приведены, другие прило-

- 80

-

Литература'

1 . Атниноон Ф,В, Нормальная

разрешимость линейных уравнений

в нормированных пространствах. Матем.сб, ', 1951, SO (70), № 1,

стр. 8-14,

2, Вайнберг М.М,,Треногий В.А, Теория ветвления решений

нелинейных уравнений» М^'Наука",

1969,

8.

Гахов Ф.Д. Краевые вадачи* Мм "Фивматгив", 1966.

4,

Глаэман И.М., Любич Ю.й, Конечномерный линейный аналив.

натем.наук

1957,

*,12,вып.2 (74), отр, 48-118,

б» Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в овертках и

проекционные

методы

их решения,. М.^Науяа"» 1971 •

7. Дан илюк И,И,

Лекции по краевым вадачам для аналитических

ского ун-та, 1964.

,

8.

Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный ввалив в

нормированных

пространствах, М.,"Фйвыатгиэ",

1959,

9.

Като

Т. Теория возмущений линейных

операторов.М.,"Вир",