Файл: Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие].pdf

-

i t

-

торы

Фредгодъыа,

т , е .

операторы

вида

.В =

1 + Т ,

где

Т

- вполне

непрерывный

оператор, а I

-

единичный

опе­

ратор. Простым примером оператора фредгольма

является

интеграль­

ный

оператор

о непрерывным

ядром

Л

B x ^ x t i x

,

T x

= )

3 i ( s , t ) x ( t ) < i t .

Ои

Как известноt

он

действует

иа

пространства непрерывных

иа отрез­

ке

Функций

,

причем

является

вполне

непрерывным операюроы.

Нааваиие "оператор Нетера" имеет оледующую Историю* Теория

сингулярных

ингегральных

уравнений

о

ядром

t t g

в п е Р ~

вые раврабатывалооь в трудах Ф.Нетера» боновные теоремы этой

теории

нооят

его

имя. Нормально

разрешимые операторы

о

конечной

d -

характеристикой

являются

естественным

обобщением

интег­

ральных операторов о ядром tfcx^

« поэтому эа ними и

укрепилось название оператора

Катера*

Теория сингулярных интегральных уравнений о ядром Коши

раавивалаоь

в

работах

Т.^арлемана»

П.И.Муохелишвияи.ИйН.йекуа,

ф.Д.Гахова, С.Г»Ыихлина,Б»В»Хведвлмдзв, Н»П.Векуа к их

учеников.

Иоторичеокиа

обаор по

озону поводу

и

библиографию

мокше

найти

в монографиях

Н.й.Иуохелишвили

[16]

и Ф.Д.Гахова

t e l .

ном, И.ц.Гохбаргом и М.Г.Нрейном, T.Keso и другими

авторами.

Подробную библиографию можно найти * отагьв \ 5 } и

M i H f a x \ ь \

t 7 l , [ i i l , l l 2 l . ( l 6 b

-

I S

-

Следовательно, { ^ ' j

-

замкнутое

линейное многообразие, т . е .

подпространство

пространства

. Обозначим

это подпростракст-

ЕСО-сЧ

и

(2.3) следует,

к

г- а.

л

. Из (2.1)

что элементы ОС

6 С,

аннулируютоя такие

и функционалами ^ :

:

Представление

(2.2) единственно, так как равенство

Х ' + Х = Овозможно лишь при

Х ' = Х " = 0

• В самом

деле,

так

как

X.'(г

» т о

существуют единственным образов

опре­

деленные

постоянные

c L K

t такие,

З С ' —

Х \

,

Следовательно, X!'--\_(Х*Х^

т

Ум ©ш№

£

( X

) =

0

получаем:

C t K i =

О

» т - е -

X - О

• Фвтаэда

заключаем,

что

пространство

Е ,

разлагается

я яряшув сушву ло пространств

Аналогичное разбиение проведем в яртетраягагве

fct,. За основу

возьмем

систему

SL| , " X ^ i .

*2 р

эяеиввташ

«роотраяотва Е ^ >

биортогональных дефектным 'Здвшфгоиалая

£ ^

* * - -

»

т .е.

таких,

что

£ ^

(2-L ) =

b i t j

(

Ь

\

) .

Введем

в Е ^ , проектор Q t | не

^

~ мерное

подпространство

Е ^

, базисом ко то рого

служат элементы

9 ^ ,

К=-1. R,

положив

р

( 2 . . )

Произвольный элемент t j ^

можно

единственным

обрезом

1м>"лртавить

ввиде

Ц -

Q t j

- j . [ l j -

Q t j J - c t j

+ t j " ,

где

-

и

^

- Q ^

.

1 J = ( l - Q ) ^ | .

Множество

{^f}

обозначим

E«f°

Р.

Очевидно. Q - y - Q .

Следовательно,

~Р

как

ядро

ограни­

ченного

оператора

Q

будет

подпространством

пространстваЕ^.

В силу линейной Неаивиоиыооти элементов

"}h

иэ

(2.4)

вытекЯет,

что

£\(tj") —О

Для

воех ^=4,Я,,*.^« Таким

образом,

подпрост­

ранстве

Е ^ ~ ?

состоит

иэ

тех

элементов

L j

"

^

^

, для

которых

разрешимо

уравнение

и Х ^ ' Ч

. Следовательно ,

прортранот-

во

С*

'

-

это область значений или обрав

Jin

D

ОПера-

тора 2>

* Ясно, что

при

^ = 0

пространство

)

совпадает

со

воем

проотранотвоы

£

^ .

Так

яе,

как

й в

олуЧае

пространства

Ец

V

имеем

представле­

ние

пространства

Е ^

в виде

прямой

оуыыы »

§ а.

Сужение

нэтерова

оператора

D

на

ц

£али о ( Е & г О

» 50

уравнение

Эх

~ 'М

имеет

единотвен-

иое

решение

X ~ D

"Ч

» Г Д 0

Q

~

обратный

к D

,

ограничен-

янй ио теореме Банах* (Б Ж ) оператор.

Что

будет в

случае

Ы + ^у

О

? Тогда

уравнение

В х = ^

или неразрешимо, или у него решение не единственное, т . е .

обрат­

ного оператора на

воем

здесь

не

будет. Обозначим

через

В

сужений

оператора

В

«а

Е ^

^

Оператор

%

устанавливает

4

• и

Ь

^

1

взаимно

однозначное

" начальные буквы французского слова

lm.txQG

образ,

-

образ

D

•

и

С °°~

ы

соответствие»

В самой

деле»

каидоыу

DC

6

отвечав-!

один элемент

,

принадлеаащий

L ^

в

силу

того, что

уравнение

Вх

-

В^С."

разрешимо (оно имеет решение

Э ^ = З С " ) .

Наобороть

уравнение

разрешимо п р и ' 1 4 ^ Ел

в

Eoo^et

его

решение

"

v

двух

*• } .

,

единственно, ибо разность

различных

д

долине

одновременно

принадлежать

и

Ь

Г *

-

л L.^

, 4SO

Невозможно,

еоли эта

разность не

нуль*

По теоре-

ЕсхЭ- ь<

/|

оператора

D

.

Гавумейтоя, в

Е<

решение уравнения

8 л г = Ч

при tj £

t

^

)

» с Ч > О б у д в *

не

единственным»

X

-

fe

1 ( Ц

+/~Ск

Х к

*

С *

- произвольные

3

постоянный)

§ 4 . Лемма

Шмидта и теорема

Никольского

Прежде

чем приступить

в формулировке

и докввательотву

одного

вующего однородного

уравнения)»

. Итак, пусть для

уравнения