Файл: Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие].pdf

Д | .

-

g

необходимо

и достаточно,

чтобы

Q ( X ) — О

для

всех

X

,

являющихся

решениями

уравнения Д Х г О

[ в ] ,

гь.ЮГ,

п . г . 4 ,

стр.

435.

X. Коли

L

- подпространство

банахова

пространства

£" и

коразмерность

подпространства |_>

конечна,

то

L i

nueetf прямое

дополнение

в

Е ,

т . е .

E = U M ,

г д е / Л

-

подпространство

пространства

£ .

При

втои dim

М

=

Aim

[б],

г л . 1 ,

§ 1, стр . 20.

Ссылки на приведенные теоремы обозначаются в тексте следую­

щий

образом:

Б I ,

Б I I и т . д .

-

в -

§ 1 .

Определения

Uycib

и Ej„ ~ банаховы пространства,• Е < ^ Ёа.^ -

Расонотрим

уравнение

решения

уравнения (1.1)

называются

нулями.оператора В .

мнояеотво нулей оператора Б>

нааываетоя ядром оператора В и обо»

начаетоя fceX 6

или Л е » ) .

г

множество кет

В

линейно

и

замкнуто1.

а) В ^ О ^ + с ^ О С ^ о Л

В Х - т + О ^ В х ^ О

.еслиВх^О,

В Х ^ - 0

|

,

- комплексные поотоянные|

б). »сли

В х п

= 0

и Cim

Х п =

Х ° , то

«

0 « Ь т ' В Х п = В ( ^ Х . ) = : В Х °

Таким обрааом,

|тет

В

- подпространотво банахова

пространства

Число

линейно

независимых

нулей

оператора £ )

, точнее —

размерность

подпространства

K£Z В

,

называется первым дефект­

ным числом

оператора В

и

обозначается

-

9

~

о ( = . d i r n

Кет. В

^ '

Рассмотрим неоднородное уравнение

B X r ' y .

(i„2)

Оператор (3

i

а вместе о ним и соответствующее

еиу уравнение

(1.2)

называется

нормально

разрешимый,

воли

в

пространстве

£ ^

, сопряженном

с

» существует

(быть

может, пуотое)

множество J\f

( Б )

функционалов

Z,

, таких,

что для раз­

решимости, уравнения

(1.1)

необходимо и достаточно,чтобы

£ ( < | ) = О Д я я в о е х Г е ^ С В ) .

Множество JV

( d)

называют

коядром оператора О и

обозначают

Элементы

мноиества

оно

будет

подпространством

пространства

Е^»

называемым де­

фектным

подпространством оператора В . Его размерность

обоз­

начается так:

flltm

C-oJce Ь В = j?>

и называется

вторым де­

фектным

числом

оператора В .

Упорядоченная пара

(Ь)

чисел oi

и

|Ь

называется

дефектной

характерно тиной,

или коротко;

c i -

характеристикой

оператора

В

,

а Число ЭС =.сЧ- ^

-

его индексом. Индеко

^

cLi-m

-

сокращение латинского

слова

Д л м е п з Ь о г ъ

-

размерность.

? ^

В § 5 будет

показано, что для операторов

НетераС©1сетВ=

s.

( с е ъ В

, где Б

- оператор,

сопряженный с Е> .

Отсюда

вытекает

замкнутость c o f c e i

Б

• для таких

опера­

торов.

-

10 -

определен, если хотя

бы одно

иэ чиоел pi

и р

конечное,

В дальнейшей ни иногда

будем писать

вместо ^ , о ( и

jb соответственноЪС(В)

. о < ( 6 ) и ^>(В)

Для того,

Нормально

разрешимый оператор

Б б - ^ Е ^

Ец,]"

i У ко­

торого оба дефектные числа конечны, называется

оператором

Нетера или ф -оператором.

Воли

о(

конечно,

^ = оо

,

то соответствующий оператор

назаваетоя

ф+

-оператором. В этом олучае в

прострадйхве __ ^ (В)

существует

о (

-

мерный

базио X , , ,

Если о( =00,

р - конечно,

то оператор

называется

Ф , -

оператором. В этом

олучае

в пространстве

}i

( В ) с у щ е с т ­

вует

|Ь - мерный

бааио

£4

,

£ l

r

. » v

£ a

•

Для

нетерова

оператора

В

общее

решение

однородного

уравнения

будет

ОС

— у ~ С к ~ С К

(

С к

~ произвольные

постоянные),

а уоловия

разрешимости

неоднородного

Р )Х=^| имеют вид

Если 0 ( = JS>>, то

оператор называется

квазифредгольмовым.

Частным случаем

квазифредгольмовых

операторов

являются

опера-

l )

Если сх^= 00

, ^ < о о (oi<aot

р

-

о о )

,

то говорят,

что

индекс

положительный

(отрицательный)

и бесконечный.