Файл: Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие].pdf

уже не ииеет места. И.Нието доказал, что

для существования

левого регуляризатора у

оператора

необходимо и

достаточно, чтобы

( В )

было конечным

числом и образ В-

ратора В & { " " ^

правого регуляризатора необходимо и дос­

таточно, чтобы

было конечным числом и ядро В

имело

»

I , 9-12. }и

} . I . j/iet o

(Mathema - tisch e

Ли>га£еиъ; 1968,

Б

178, I,

62-77 ) .

§ ЗЛ. Эквивалентная регуляризация уравнений

До сих пор мы рассматривали эквивалентную

регуляризацию

операторов. Были установлены

неооходиыые

и достаточные

условия

того, что

уравнение

В х ^ Ц

и регуляриаованное уравнение

эквивалентны

для воех Ц

иэ области

значений

оператора

В

. Иожно

поставить вопрос

и по-другому.

Пусть дано

уравнение

В Х - Ц

о фиксированной

правой частью

^

.

Спрашивается, можно

ли так подобрать регуляризатор 1i

, что урав

нение

будет уравнением Фредголъма, эквивалентным

уравнению б х ^ ' ^

? Наибольший интерес, разумеется,

представ­

-

б? -

Теорема d.14. Пусть В)

-

линейный

оператор, действующий

в гильбертовом

проотранотае Н

и

^

,

принадлежит области

определения сопряженного оператора

В*.

Если при этом уравнение

В х = ^

разрешимо,

то оно эквивалентно

уравнению

Доказательство.

Пуоть

; тогда

1оли еще какой-либо

элемент 9С6с

удовлетворяет последнему

уравне-

шт. т . е .

,

то обязательно

т . е . Т[! будет

и решением исходного

уравнения. В самом

деле,

имеем

В * В х = , B * t j , 6 * B X o = B 1 >

отсюда

находим

Умножая обе чаоти этого

равенства окалярно

на

Х ^ — ,

получим

( Х о - х ^ В ( х 0 - 5 с ) ) = 0 ,

отоюда

имеем

( g, ( х в

- Ж ) В

( Х 0 - 5 б ) ) я О»

Следовательно,

В ( Х о — 5 5 . ) а

О

, т . е .

Е Ь ^^ВХо - ^ ,

что и утверждалось.

Заметим далее, что оператор О

является

оператором Нетера,

причем

(В * ) —-VC'('B>) (он,следствие

из второй теоремы Атнив-

сона Б § 7) . Отоюда

вытекает,

ч»о

*В

-

оператор Нетера

М'СВ* В

) ~ 0

. Из последнего

'оооФномевия

заключаем, что В В

$3>

ляризовать

слеза. Пусть

- лешыИ эквивалентный регуляриватор

оператора

- вполне

непрерывный

оператор. Тотда

уравнение

эквивалентно исходному уравнению В ОС = t j ,

Таким обрааом Получаем следующее утверждение

Теорема. 2.14. Если в уравнении В Х —

, где В

-

оператор

Нетера^ удовлетворяющий уОЛовинм теоремы 1.14,

правая

часть

'Ij

принадлежи» облаотй определения сопряженного

оператора

и такова,

что это уравнение разрешимо, то его можно эквивалентно

регуляривовать слева.

§ 15. Примеры линейных операторов

1,

Нуль-оператор определяется равенотвой

Вос^ОЖ,

V x t E j

. очевидно

AlinlceH В - d t m E ^ M oU&)

может быть как конечным,

так и бесконечным в зависимости

от того,

конечномерно

или бесконечномерно Пространство Е^ • Для определе­

ния

Я*ея,

что' уравнение

В Х ^ ^

разрешимо

лишь

n p H l j f t O

. ПОЭтОыу

В ( В ) ж Ш

, если d i m Е \ =•

и

р ( В ) < с ^

,

воли (д 1ж

Ь ^

. Таким образом, при

различных предположениях относительно размерности пространств

1^

и

Ejt

нупь-ОПоратор

может оказаться

кай оператором Нетера,

так й ф ^ . ,

ф *

OrtepatfopbMJ

также

возможен случай,

когда оба

числа о\[Ъ)

й р[$)

бесконечны.

2. Едйнйчвый

оператор B x

^

I X

определен, еслиЕ)— Е^ .

Ясно,

ЧтЬ

t e / l f t - O

При лйбом

выборе пространства

£ц ,

т . е .

с К ( В ) - 0 • Второе

дефектное

Число

«ависит от того,

каково

пространство

. Если

Б ^ —

Е"^

i

ю

j ^ ( B ) - 0

и оператор