Файл: Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 86
Скачиваний: 0
МИНИСТЕРСТВО ВЫС!11ЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Р С Ф С Р
БАШКИРСКИн ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. 40-Х6МЯ 'ОКТЯБРЯ
К о н т р о л ь . г " |
>:::емпля £ |
Р А М А З А Я О В М. Д.
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ПРИБЛИНЭШОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
У Ф А - 1973
Печатается по постановлению Редакционыо-издательсмтго Совета Бвшгосуииверситета
л ь « о г о _
3 6 9 8 Р
Лекде доцента Рашаанова Ы,Д,
для стукентов математического факультета Ваш1\)су;лвероит era
Отэвтсгренный редактор доцент Шаба» А. Б.
2
|
ПРЕДИСЛОВИЕ |
Лекции по теории гриближнного интегрирования написаны |
|
как специальный |
курс для студентов ш емачического факульте |
та Башкирского |
государственного университета. |
Лекции содержат, в основном, собственные исследования ав тора. Йввестные, полученные другиыи авторами, результаты опи сываются во введении. В главах 1-Ш установлены достаточные ус ловия универсальной асимптотической оптимальности решётчатых кубатурных формул с ослабление регулярным погг!ничньы слоем. На основе этих достаточных условий в главе 1У построены кубатурные формулы для многомерных ограниченных областей с гладкими границами, В приложении даны программа и результаты счёта по построенным формулам интегралов по кругу от функции двух пере менных.
Ряд товарищей помогали созданию этой работы.
Серьёзную помощь исследованиям принесли многочисленные советы академика С.Л.Соболева. Обсуждения результатов участниками семинаров Института математики СО АН, особенно замечания В.И. Половинкина и Ц.Б.Шойнжурова ртимулировали занятая. Инженер вычислительной лаборатории БГУ А.Ф.Егорова составила програм му вычисления интегралов. При окончательном оформлении рабо ты много сделали Л.И.Михеева и ii.Г.Юпьякшин.
Я глубоко благодарен этим товарищам.
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
О Г Л А В Л Е Н И Е |
|
|
|
||
В в е д е н и е |
|
|
|
|
•* |
|
||
5 0 . 1 |
Основньв обозначен^, терминология. . |
. . 5 |
|
|||||
§ 0.2 |
Постановка |
задачи. . |
|
|
S |
|
||
§ 0.3 |
Известные результаты по близким проб |
|
|
|||||
|
|
лемам |
|
|
|
|
IS |
|
|
$ 0.4 |
Общее описание основных результатов. . |
. 2 0 |
|
||||
Глава.1. Оптимальный |
порядок кубатур IIHX формул |
2.2. |
||||||
|
5 1.1. Интегрирование периодических Функций. |
. . 2 2 |
||||||
|
|
1.1.1° Оптишльные формулы |
|
22 |
|
|||
|
|
1,1.2° Свойства формулы прямоугольников. .2? |
||||||
{ |
1.2 |
Оценки снизу с!>ункц/10налов погреаностей. |
. . 34 |
|||||
$ 1.3. Оценки смдо функцииалов |
погрешностей. . . Ab |
|||||||
|
|
1.3.1 |
Оптимальные по порядку функционалы. |
Ь |
||||
|
|
1.3.2° Принадлежность функционалов Собо |
|
|||||
|
|
|
лева классам Л |
(Q., Mt,tiitp) |
5 2 |
|||
Пим П. Аисмлтотическая оптииальность кубатурных |
|
|||||||
|
формул над гильбертова* пространства»» |
5 ? |
||||||
§ 2.1. Асимптотическая оптимальность над |
W£- |
|
|
|||||
|
|
простр*нствами |
|
|
3 |
' |
||
I |
2 . 2 . Вычисление нормы оптимального функционала. . &8 |
|||||||
I |
2,3. Примф |
W a m |
пространств Соболева-Сдобо- |
|
||||
|
|
децкого |
|
|
|
?б |
||
|
|
2.3.1* |
Посииов» общей задачи о решётча |
|
||||
|
|
|
тых кубатуряьос формулах |
|
? i |
|||
|
|
2.8.2* Paiene общей задачи над |
W,& |
?9 |
1,
Глава Ш. Асимптотическая оптимальность над прост |
||
ранствами, функций с непрерывны*»! проие- |
||
воднши |
|
,90 |
§ 3 . 1 . Асимптотическая оптимальность |
|
|
над V/Г |
' |
9 0 |
§ 0.2. Выбор подходящих норы |
|
1"Ь |
§ Э.З. Распространение результатов на В м |
- |
|
нормы. |
|
10Й |
Глава 1У. Построение специальной кубатурной |
|
|
формулы |
|
11? |
5 4 . 1 . Описание построения. . . . |
и з |
|
§ 4.2. Принадлежность функцюнала погрешности |
||
классу. |
|
|
Приложение |
|
• ib? |
§ 5 . 1 . Формулировка окончательных результа |
||
тов |
|
4Ь? |
§ 5.2. Обсуждение результатов |
и постанов на |
4 S 3 |
|
|
|
Нфешенных задач |
|
'. - 1 |
§ 5.3, Програмиа вычисления интегралов по |
|
|
кругу. |
|
^ 5 |
Литература |
|
i 6 8 |
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В В Е Д Е Н И Е |
|
|
|
|
|
|||
-§ |
0 . 1 . Основные обозначения, терминология. |
|
|
||||||||||
|
|
Точки |
п,-мэрного |
вещественного |
евклидова |
прост |
|||||||
ранства ft*" |
будут |
обозначаться Х- = |
|
|
(х±,..гхп),у'(у1П%),у^(^0^) |
||||||||
или |
^ |
|
|
О- х/, |
У', |
fy |
|
будут точками |
|||||
Rj1"1. |
|
K=(*i,~,Kty)l |
|
5 = ^..у 5„)-векторы |
с |
целочисленны |
|||||||
ми координатами Kj , |
Sj = |
|
±2j |
... |
(J |
* |
<jy ft.)j |
||||||
<^ = foiiy.:,o(fV)JjS-(/8iy/j4,)-BeK!!aP}i |
|
с целочисленными неотри |
|||||||||||
цательными |
координатами, причем условимся, что |
|
|
||||||||||
|
|
|
такчто |
(if) |
=0},) |
|
•...•i1}*) |
|
= ' |
T j |
|||
df |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скалярное |
произведение |
n- |
мерных векторов а. |
к 6 |
||||||||
обозначается |
Out)i |
например^ эг л = :*,,*, + ...-*• |
->сл кп. . |
||||||||||
Д - |
матрица |
п х /г; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
£ - |
|
банахово |
пространство, |
сопряженное к нему |
-В, |
|
|||||||
С^ |
возмояно, |
с индексами - |
постоянная, |
одна и та же в |
|||||||||
непрерыващейся цепочке неравенств, 'р&аличная в равных |
|||||||||||||
формулах, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сt |
|
иногда - |
пространство непрерывных функций с нормой |
||||||||||
|
|
llf<x)llc |
=tva.x |
ff fx.)) |
|
|
|
|
|
|
J- - оператор преобразования Фурье,
x cUi...clxh.)
~J) (*•) = ^ / ^ e w n
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
^(Djj-C*-) |
- |
результат |
действия оператора |
f |
(D) |
|||||
по правилу |
|
у ( y ' i f f c f t y J j ) < * • ) . |
Напримф, |
|||||||
|
Обобщенными функциями мы назьшием элементы прост |
|||||||||
ранства ^ |
|
( И.П)-см. j<S.2j [З^^ДеИстше |
обобщенной функ- |
|||||||
ции t(z-) |
на основную |
у>(-х) |
обозначается < tfx)j |
<f(xi'> |
||||||
Употребляемые нами оооощенше функции будут иметь, как |
||||||||||
фавило, компактный сингуля^шй носитель, точнее фед- |
||||||||||
с^авляется |
в виде суммы |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1м |
|
= 4 (*i |
+ |
4 |
|
|
|
|
|
где |
fx) |
чинитна, а |
^2 |
fx) |
локально сушируьш. |
|
||||
Поэтому будет Офеделено действие таких обобщенных функ |
||||||||||
ций и на некоторые нефинитные основные функции конечной |
||||||||||
гладкости : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<t-i(x),j-<>-')> может иметь |
смысл, так как |
4, fx) |
финитна |
|||||||
и обладает |
конечным порядком сингулярности^с/х. |
|
j?c*)- |
|||||||
обьыный интеграл. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Банаховы фостранства |
3 |
будут состоять, иэ Функций j - f * ) |
п.вещественных переменных, определенных на всей Я.*"
ифиыимащих комплексные значения.
Еыи дополнительно федполапается периодичность функ
ций f fx.) с матрицей периодов |
А , |
то-есть выполнение ус |
|
ловия /сэо =/f»c+Ак) для всех |
х <=RrtH всех К |
(ку0,£1,£2г..')/- |
|
то пространства обозначаются |
В |
и просто "В } |
когда |
?
матрица |
А |
|
|
|
единичная. |
|
|
|
^ |
|
|||
|
npOOTfXUICTDf: |
Б |
й}ДуТ OOllOuHIH.31 дъ: юс, |
|
а Б д |
мы |
|||||||
будем ВВОДИТЬ СОО'ПЮШИМШ.Ш |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
£ |
|
воегда |
будет определяться |
как залоги ше |
в- пекото- |
||||||||
рой норме всевоамо.них |
конечных родов *урье |
2_ |
|
}ке |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|К|4 С |
|
|||
ОСНОВНОЙ период фушац!; из простргиства |
В - |
единичны!! |
|||||||||||
куб |
q |
|
|
/ 04 |
< X, |
j= |
i,...; |
h) |
|
|
|
|
|
}к |
будут |
обозначать |
козффяциенты 1>урье этих Функций, |
||||||||||
|
|
|
h |
= |
J Л |
/г*; |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
Объём ограниченной области |
w |
обозначается |
/ t-J / |
|
|||||||||
Х 2 - |
область, |
лежачая |
строго внутри единичного |
куба, |
|
||||||||
f |
(Q, |
|
|
Q.) >о |
|
|
|
|
|
|
|
||
E>(Q) |
прострапство, образованное 1уункцрями J- |
|
ипреде- |
||||||||||
ленньъм на |
|
|
и являщимися ограничениями на 12 функ- |
||||||||||
деп и* |
В, |
то-е^ть tfin всякого |
f сх) |
существует gCx.) (- Ъ |
|||||||||
*акая, |
s i u |
^ f * ) / ^ 3 |
Н о р м а |
в пространстве |
JB |
(Q) |
|||||||
опрадежяется формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Наиболее употребительными пространствами В |
и |
В |
||||||||||
у нас будут следупцие |
(мы указываем одну и а эквивалентных |
||||||||||||
нормировок): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Простреиства Собслева-Слободецкого |
W*t |
|
у/ т |
с |
||||||||
не |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
f i ^ V // =13^1Г*[(1Пгц1*)"Аф)Ъ11/У1/*> |
( 0 Л - 3 ) |
||
' |
Q. |
K |
J |
ft7 -любое |
вещественное, 1 з p £ °o |
|
|
Пространства |
Никольского-Бесова: . B p 1 |
с нормами |
•lipiao, m-лябое вещественное, C X J * 1 , ^ -
нибудй фиксированное для всех В ^ " - норм число.
Пространства Мандельбройта-Хёрмандера |
t |
нормами |
|
какое-
Н^* о
(0.1.7)
§ 0.2. .Постановка задачи.
Цель^работы состоит в изучении формул, дащих прибли
женное значение интегралу от функции /Гх) |
по ограничен |
||||||
ной области |
Q. |
Рассматриваются |
приближенные значения |
|
|||
/ - f гзОс/эс . |
имещие вид конечных сумм |
?п |
~ arf (х(к)) |
- |
|||
si |
|
|
|
|
|
|
|
они называются кубатурными (квадратурными) формулами. |
|
||||||
я?к> называются узлами, |
<jK - весами |
кубатурной формулы. |
|||||
В общей постановке задачи требуется так распорядить |
|||||||
|
|
ся) |
|
|
|
|
|
ся выбором узлов |
х |
и весов |
<ХН} |
чтобы число узлов |
|
||
не превосходило |
заранее.заданного |
числа jf} |
а кубатурная |