Файл: Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 88
Скачиваний: 0
s
формула возможно точнее прибли.тала интеграл равномерно
по функциям ^ f x ) |
из некоторого мкшэсгва Ф} то-есть |
|
||||
требуется |
указать |
точек |
л С к ^ |
и соответствуквдие |
QK |
|
так, |
чтобы они давали возможно меньшее значение выраке- |
|||||
ниго |
|
|
|
|
|
|
I |
= |
sub |
I Slc^c/x- |
ZI |
^/C^j/ |
(0.2.1) |
Основная задача нашей работы является частным слу
чаем общеП постановки. |
Сформулируем нашу задачу. |
||||||||
|
За множество |
Ф |
мы берём единичный шар в банахо |
||||||
вом пространстве |
В (ГЦ подчиняя |
Б |
двум основным усло |
||||||
виям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
вложено в пространство непрерывных функций С и |
||||||||
|
|
|
/ / / w j f |
Уц<х>1~ |
< 0 0 , |
( 0 , 2 , 2 ) |
|||
норна прострдаства В |
инвариантна относительно сдви- |
||||||||
гов - для |
всех |
£(х)(В и всех |
а, ( К. |
|
|||||
|
|
If(x- |
+ a.)l„ |
= |
Hff*i8K |
1 |
(0.2.3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Узлы |
эс ; |
будем считать выбранными по правилу |
||||||
|
|
ж . 6 0 |
= н к . |
|
|
|
(0.2.4) |
||
TOe |
К > о - параметр, стреияцийся к нулю так, |
что числа |
|||||||
'/Я |
остаются цель»«. Такую последовательнойсть значении |
||||||||
к. |
обозначим |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
<£С = •[fv |
J L-*~ + Of |
- |
целые числа |
} |
||||
|
Если |
узлы ^нбираотся согласно |
(0.2.4) или, более об |
||||||
що, |
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л 0 0 |
= А М |
|
|
|
(0.2.5) |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
где |
А.(к) |
матрица |
h * h . |
с условием |
dut |
А/к) |
= 1, |
|
||||||
то |
говорят,.что узлы располагаются на решётке с штрицей |
|||||||||||||
А |
(к). Таким образом, |
мы рас полы •аем узлы на простеМшей |
|
|||||||||||
решётке |
с единичной |
матрицей. В формуле (0.2.1) |
остались |
|||||||||||
произвольными только |
числа |
<ХК. |
Будем записывать их в |
т- |
||||||||||
де |
CLK =СК |
|
/ i / 1 |
и |
в дальнейшем называть |
весами числа |
ск. |
|||||||
|
Итак, |
мы приходим к задаче: |
|
|
|
|
|
|
||||||
для |
заданной последовательности |
|
значений параметра А- |
|||||||||||
подобрать веса |
|
= Ск (к) |
так, чтобы выражение |
|
|
|||||||||
принимало наименьшее возможное значение при наздим |
"/v£<?d |
|||||||||||||
Значения |
СК |
дашие минимум |
1 |
(с*)> |
обозначим |
Сяк |
и |
|||||||
будем называть оптимальными. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Оптимальной кубатурной формулой назовем последователь |
|||||||||||||
ность по tifrcW. |
кубатурных формул, отвечающих весам |
Сск |
|
|||||||||||
то-есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Видимо, впервые задачу в подобной |
постановке решал |
|
|||||||||||
А.Сарц £ l ? . l ] . |
ffeK указано в книге С.М.Никольского |
[ l 3 . l j , |
||||||||||||
сама постшовка задачи (даже более общей, когда Б (0. 2. 1) |
||||||||||||||
эа |
берётся единичный шар банахова |
пространства и про |
извольными остается и узлы и веса) принадлеялт |
А.Н. Колмо |
|
горову. |
|
|
^'Поиск оптимальных кубатурных формул труден. Де_т.е в |
||
тех случаях, |
когда они найдены, формулы оппшапъных весов |
|
окаэывавтся |
слозднми (см. работу И.Бабушки |
) |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
СЛ. Соболез |
посташл |
сл едущую |
:к,:^чу |_19. U.J |
||||
Найои |
типце веса |
с£" Г^-), с |
которыми |
последовательность |
|||
no b |
$ |
кубатурюк (] ормул |
5Г C-^(iJ) } <'* ^ ) |
||||
удовлетворяет |
услопш |
|
|
|
|||
|
i 4 c |
: |
а ) ) |
|
ч |
|
|
Последовательность |
|
|
|
||||
|
1 |
|
« и д |
|
|
|
называется асимтотически оптимальной к^батурнол формулой,-
(Постановка СЛ.Соболева более общая - в ней понятие ипти-
иальносги и асимптотической оптимальности определяются не
толоко |
при вариации весов Ск но и матриц решеток |
А )• |
Задана н&ховдения хотя бы одной асимптотически |
опти- |
|
шльной |
кубатурной формулы легче задачи об оптимальных |
формугах. Поэтому, естественно, СЛ.Соболев дополнил свою задачу иодом условиями, суть которых в та*, чтобы искать #08MOSWO простые формулы юсов с £ (^доставляющих асимпто
тическую оптимальность.
Для более точной и кратвой формулировки перейдём на
яаык функиион алые го |
анолива. |
|
|
Олг>едела:ие \. |
Функцлсналоы по-решности кубатурной |
||
формулы |
^Aujiiifr^^*^называется |
последователь |
|
ность по |
обсоленных функций ^(х) |
ьида |
«Ut А (к) = it
|
|
|
12. |
где |
^Xj^PO |
характеристическая Функция областиSlj .$(х)- |
|
$ - |
функция, |
AM- |
матрица решётки (почти всегда мы бу |
дем её считать единично!! матрицей). То-есть функционал пог решнее ти-это
азадаётся'формулой (0 . 2 . 7) .
|
Рассматриваются функции |
J-C*}, |
заданные на ограни |
||||||
ченной области Л |
и образущие банахово |
пространство В.,, |
|||||||
вложенное в С (Л)- |
пространство непрерывных на |
Q. |
функций. |
||||||
|
Определение 2. |
Оптимальным функционалом погрешности |
|||||||
называется функционал |
погрешности |
{1°'^сх}]L |
v» , |
веса |
|||||
с; |
(к) |
|
|
|
|
/и |
-' О f |
|
|
которого |
при каздом |
|
реализуют |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
Ы}НлЫ-к*Г. |
|
Ck$(*-A(k)KU)Lt=I(k) |
|
|
(0.2.8) |
||||
СК |
|
4 ГА) к |
|
£ |
- i |
|
|
||
|
Веса |
ск(^) |
называются'оптимальными. |
|
|
||||
|
Определение Э. |
Асимптотически |
оптимальным функцио |
||||||
налом погрешности называется функционал погрешности |
|
||||||||
|
|
A f А » даовлетворяпций условию |
|
|
|||||
|
К->о |
fc |
|
А |
|
|
|
|
|
Веса его обозначаются |
C%r(k) |
и называются асимптотичес |
|||||||
ки оптимальным*. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Дальше нам понадобятся функционалы немного более об |
||||||||
щего вида, |
чем функционали погрешности. |
|
|
|
|||||
|
Определение 4. Функционалом типа функционала погреш |
||||||||
ности |
(т.ф. п.) называется последовательность по |
h, f2C |