Файл: Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.08.2024
Просмотров: 89
Скачиваний: 0
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
обобщенных функции вида |
|
|
|
|
|
|
|
||||
/ |
C x ) ~ / v * |
2 1 |
|
с к а ^ ( х - Л ( ) , ) Ц ) |
(0.2.10) |
||||||
где. L |
некоторая, не зависящая от Кь<££- постоянная. |
||||||||||
|
Обобщенные Функции |
(0.2.10) будем обозначать |
£^ <*.)_, |
||||||||
а из контекста всегда будет видно, |
какой смысл имеет 1^1ж~) |
||||||||||
- (0.2.7) или (0 . 2 . 10) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, |
функционал |
т.ф. п. - |
это |
|
|
||||||
|
|
П л , |
1 |
|
|
|
|
|
|
(0.2.11) |
|
где £^f>) |
даётся формулой (0 . 2 . 10) . Ясно. чти функционал |
||||||||||
погрешности является частным видом функ^юнапа т.ф.п. |
|||||||||||
|
Определение 5. |
Будем говорить, что функционал типа |
|||||||||
функционала |
погрешности |
(0.2. И),(0.2.10) |
обладает |
ослаб |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ну |
ленно регулярным пограничным слоем, |
если существуют Дов 'за |
||||||||||
висящие от \\f-3t постоянные Li |
и |
L 2 , с |
которыми выполня |
||||||||
ются свойства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sub |
|
|
ск |
(k)l |
f |
L4 ; |
|
(0.2.12) |
||
если |
jo f / l ( h ) K j , / |
R , 1 |
N n ) > L 2 |
J v / т о |
|
|
|||||
|
|
|
ск |
= 1 |
• |
|
|
|
|
|
(0.2.13) |
|
Itecc функционалов т.ф.п., обладашри осабленно ре |
||||||||||
гулярным погрничны™ илоем с постоянными |
и |
обоз |
|||||||||
начаем. К. ( Ц ; |
I, } |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Впфвые понятие регулярного nui-роничного слоя ввел |
||||||||||
С.Л.Соболев |
19.10 |
Он дал |
определение, к^*орое мы приве |
||||||||
дём немного"Пиаже для сравнения. Наше понятие, "ослабление
регуллршго тираничного стоя" более ширикоё, чтобы отли чать его от соболейского "регулярного пофиничного слоя"
мы добашли в название |
слово "ослабленно". Ьпочем дальше • |
||||||
для краткости мы иногда будем |
гисать "функционал с регу |
||||||
лярным слоем", шлея в виду офеделение |
5, |
котором только |
|||||
и будем пользоваться D это11 работе. , |
|
|
|||||
|
Определение С.Л.Соболева. |
Функционал погрешности |
|||||
' ^ h . ^3L^3<1tJ£ ° ^эле^1Л |
н а |
Р е ш ^ Т 1 ; е |
А' к ^ - |
обладает регу |
|||
лярным пограничным слоем порядка |
tn^ |
если он макет быть |
|||||
представлен в виде сумма |
|
|
|
|
/ |
||
V x i |
K . j . ^ e - |
^ m |
|
|
|
|
"'f(t);*nQ')*L,h- |
Причем отдельные слагайте |
суммы обладают |
свойствами: |
|||||
1. |
) , М = г ( х Ь |
Ц |
а к |
б ^ о с - А к ) |
|||
3. < A ( x ) , |
- о , |
< A K Г-х), |
= О |
|
Постоянные Lu |
LLlL^ |
не зависят |
от |
A. f - d f |
Проблема А. Получить достаточные |
условия асимптоти |
|||
ческой оптимальности функционалов погрешностей с ослаблен но регулярны!.! погр%йчнш.Г слоем для различных банаховых пространств.
Проблеш Б. Для ограниченных областей с кусочно-глад кими границами дать способы построения кубатурных формул, функционалы погрешностей которых асиьт.тоткчески огт*ималь-
15
ны над широким ioiav.coM банаховых пространств оолмдамт Оилаола^.и регулярным пограшчним слоем.
ijDUTKO опишем paaDirnie ис.елсдоог.нпй по общей задаче кубатурных формул - (0.Г...1), чтобы указать место проблем
А и Б среди других.
,В одномерном случае теория квадратурна; Гормул явля ется хорошо ризраоотанпоц областью. Самыми сильными резуль татами этой, теории являются, по нашему' мнению, два следу-
ПЦ'.Х. |
|
|
|
Формулы Гаусса |
(2т+1)-порщка точности, решаю |
||
щие задачу (0 . 2 . 1), в |
которой |
Ф - шожество полиномов |
|
степени не выше (2m - t i) |
£l - |
интервал (0,1) . |
|
Хотя ещё, повидаыоыу, |
нет удшлетвори тельного объяснения, |
||
но именно формулы Гаусса чаще всего дают практически наи
более быструю сходимость при |
т-»-сю |
приближений к точно |
му значению интеграла. |
|
|
Теория С.У.Никольского £ l 3 . l } , |
который минимизировал |
|
(0,2,1) по узлам и весам для |
^о-единичных шаров наиболее |
|
употребительных банаховых пространств функций одной пере менной.
Теория вычисления многомерных интегралов из-за труд ностей решения общей задачи развивалась по двум направле ниях!.
Первое - шнмиязацед формулы (0.2.1) по узлам при теетолннкх весах (°-к ~ Щ^*). &есь также есть отдельхыс н.с>праЕления.
1) Выокрая 3> кэ ргсс&фяпцеКся последовательности инохестж - обычно иногочленов ш тригоноиетричеешх много-
|
|
|
1 6 |
|
|
|
членов степени, не превосходящей заданного числа |
т . |
и |
||||
останавливаясь |
на |
минимальных if =lf(rn)> |
для |
которых |
||
1 = 0 |
получают |
последовательность (при |
i n — ) формул |
|||
алгебраическом |
точности. |
|
|
|
||
Ъга теория встречается с большими трудностями. Поэтому |
|
|||||
результаты её |
относятся к областям простых (1х>рм |
(допус |
||||
кающих богатые группы изометрических автоморфизмов) для небольших т . и размерностей.
2) За "сЬ выбирают единичный шар в определенном банаховом
пространстве, а задачу оптимизации по узлам решают с по мощью теоретико-числовых методов, добиваясь наилучшего порядка сходимости (при if-f- °о ).
3) За & выбирают единичный шар в определенном банахо вом простршетве, а узлы определяют на основе псевдослу
чайных последовательностей чисел, о^.^аясь на вероятност ные методы исследования.
В описанных направлениях исследований получены важ
нее и сильные результаты. Но так кик наши результаты не
относятся к этой области, мы поволим себе ограничиться здесь ссылкой на работы, в которых указанное первое нап
равление описано более полно и глубоко.
См. С.Хабера[22] и монографии Н.М.Норобова f l O J ,
Н.М.Рфылова [ll],В.Энгельса [ЗЗ^ А.Сарда [ l 7 , 2 ] ; И.М.Собо ля [гО^А.Х.Страуда [ 2 l J .
Второе направление общей многомерной теории харак
теризуется тем, что узлы выбираются в точках некоторой решётки, а минимизация (0.2.1) идет сначала по весам при
фиксированной решётке, потом по различным решёткам. $J> 6>-
1?
рётсл единичным шарам определенного банахова пространства. Постановка и основные результаты исследовании этого нап
равления |
финадлехат С.Л.Соболеву [ l 9 . 1Z]i |
[ l 9 . l ] |
|
|||
С.Л.Соболев |
рассмотрел |
в качестве |
sb |
единичный |
|
|
шар гильбертова |
пространства |
Lj . ( I I ) |
с целыми m > ~ |
} |
||
профакторизованного по многочленам степени не выше m |
- 1 } |
|||||
с нормой |
|
|
|
|
|
|
Для ограниченных областей с липшицевой границей он |
||||||
показал, |
что формулы, обладаниие регулярным погрничным |
|
||||
слоем (в |
смысле Соболева) являются асимптотически опти |
|||||
мальными.
Для областей, являющихся многогранниками, дал эффек тивные способы построения таких формул.
В ряде случаев указал решётки, реализующие минимум (асимптотически при hi-^°o) формулы (0.2.1) по всевозмож ным решёткам.
Та"ким ооразом, сформулированные выше проблемы А и Б являются частью Оищих задач поставленных С.Л.ооболевыы. Дтмитим еще, что ш решаем здесь не проблемы А и Б, а их упрощенные варианты:
в проблеме А предлолагааи, что решётка постоянна по К. и задаётся единичной матрицей, в проблеме Б предполагаем об- 'ласть Q. гладкой.
Ответим теперь на вопрос - почему понадобилось рассмат ривать эти задачи, учитывая что в определенных постановках они уже решены С.Л.Соболевым.
Гос. публичная нйучно-техничедлвл
18
Решая проблему А, мы даём достаточны; условия асимп
тотической оптимальности формул с ослабленно регулярным
пограничны.! слоем для широкого класса пространств. В част
ности, мы рассматриваем гильбертовы пространства функций, именцих различную гладкость по разным направлениям, /& так
же пространства непрерывно дифференцируемых функций. Установленные нами результаты легко переносятся на
решётки, задаваемые матрицами А , постоянными по к. Это го достаточно для изотропных пространств, так как уже на
таких решётках достигается порядок по к (К - ю) наилучший даже по произвольным нерешётчатым расположениям узлов.
Для одного из важнейших неизотропных случаев - прост
ранств W 2 т ^ ' " ' " ' а ^ ~ мы рассматриваем и зависящие от к
матрицы решёток - а именно, такие, на ноторьк достигается порядок по к^ наилучший по произвольным расположениям уз
лов;
Обращаясь к проблеме Bt следует сказать, что нашей целью было дать эффективные способы построения кубатурных формул для достаточно гладких функций, заданных в областях
произвольной формы. Используя полученные наш достаточные
условия, эту задачу удалось решить для областей, обладаю
щих гладким» границами.
