Файл: Монахенко Д.В. Исследование сейсмостойкости бетонных плотин на моделях математические модели, условия подобия и их реализация в модельных исследованиях.pdf

не учитываются, что для (2.26) записывается в виде условия (Ув)

ЙФ

(2.29)

dt

Такая схематизация проверена расчетом (см., например, [43]).

На неподвижной границе водоема 1Д (дно водохранилища) обычно при­ нимается условие (У0_ в)

дФ

(2.30)

дп

где п — нормаль к поверхности 2 Д, которое выражает условие, что дно пол­ ностью отражает волны давления. Это условие имеет место, когда отношение

где а ц, и, — напряжения и перемещения сооружения.

При этом возникает связанная задача, т. е. сооружение и водная среда представляют собой единую систему (в частности, гидроупругую [39, 45]). Од­ нако в практических расчетах нередко при определении гидродинамического давления сооружение считают абсолютно жестким телом и на поверхности 2к задают закон движения такой же, как и в основании (тоже абсолютно жест­ ком) .

Воздействия, которым подвергается плотина, разнообразны. Обычно их подразделяют на статические (например, собственный вес, гидростатическое давление), температурные, и динамические. Причем, в ряде случаев возникают связанные задачи [46], одна из которых приведена выше. Поскольку в рас­ сматриваемом случае динамическим воздействием является землетрясение, то вызванные им возмущения относятся к нестационарным.

В реальных условиях источник сейсмических воздействий находится 'в земной коре и поэтому, строго говоря, должна рассматриваться задача о полубесконечном основании (полупространстве, полуплоскости) с источником вну­ три. Однако при решении практических задач приходится исходить из схема­ тизации, основанной на предположении, что центр землетрясения настолько удален от плотины, что прилегающая зона основания находится под воздейст­ вием плоских нестационарных волн [47].

При проектировании ответственных сооружений, как уже отмечалось, их сейсмостойкость исследуется различными расчетными и экспериментальными методами. При этом, естественно, всегда возникает необходимость сравнения результатов: расчетов,-произведенных По тем или иным расчетным схемам, экспе­ риментов, проведенных на моделях различных масштабов и разными методами,

13

и, наконец, расчетов и экспериментов между собой. Более того, учитывая, что В настоящее время трудоемкость, стоимость и время проведения эксперименталь­ ных исследований, как правило, выше, чем у расчетных, их постановку можно считать обоснованной, если результаты по объему содержащейся в них инфор­ мации будут дополнять или превосходить расчетные. Таким образом, имеется необходимость сопоставления расчетных и экспериментальных исследований на стадии их планирования и постановки, чтобы оценить их целесообразность и экономическую обоснованность. Такое сопоставление возможно и будет обос­ нованным, если проводить сравнение исходных позиций математического и фи­ зического моделирования, т. е. сравнивать математические модели (схемати­ зации) процессов, происходящих'в натурном сооружении.

Будем исходить из того, что любая схематизация задачи о прочности соо­ ружения имеет строго определенную математическую запись и соответствую­ щее этой записи символическое представление в виде объединения конечного числа подсхематизаций Х{

Используя понятия соотношений между множествами, введем следую­ щие соотношения между схематизациями С1 и С2:

1)эквивалентность—С '~ С 2, означающая, что схематизации С1 и С2 рав­ ноценны;

2)включение—С 'С С 2, показывающее, что схематизация С2 содержит

всебе схематизацию С1;

3)объединение—C4JC2 = С3, т. е. существует схематизация С3, пред­

14

2) СэпС р= 0 и CaU CP=Ci— экспериментальная й расчетная схематизаций являются частными случаями общей схематизации натурного сооружения Ci и при моделировании исследуются различные аспекты процесса Сь результаты расчета и эксперимента взаимно дополняют друг друга;

3)С3~ С Р— в основу эксперимента и расчета положена одна и та же ма­ тематическая модель, поэтому эксперимент не имеет преимуществ по сравне­ нию с расчетом, а также не является «эталоном» для проверки методики рас­ чета;

4)С3ССр — экспериментальная схематизация является частным случаем расчетной, поэтому результаты эксперимента будут «грубее» расчетных.

Очевидно, что те же случаи имеют .место при сопоставлении между собой расчетов одного и того же сооружения.: выполняемых на основе схематизаций

Ср1 и Ср2 или экспериментальных исследований С31 и С32. Приведем несколько примеров.

1. Расчет арочных плотин ведется в основном по двум схематизациям:

консолей).

В обоих случаях трехмерная задача сводится к двумерной, причем между при­ меняемыми схематизациями имеет место соотношение

СР2сСР*.

Экспериментальные исследования таких плотин проводятся на трехмерных моделях, для построения которых используются условия моделирования про­ странственной задачи теории упругости. Можно утверждать, что в данном слу­ чае в основе' эксперимента лежит схематизация более общая, чем в основе расчета, т. е.

СРСС9.

2. Расчет ряда гидротехнических сооружений таких, например, как бетон­ ных гравитационных плотин, земляных плотин, отдельных контрфорсов (при деформировании в своей плоскости) и других с помощью определенных допу­ щений приводится к плоским задачам теории упругости. Экспериментальные исследования таких сооружений нередко также проводятся на плоских линей­ но-упругих моделях.. В этом случае схематизации, положенные в основу рас­ чета и эксперимента, одинаковы

СР =*- С9.

3. Иногда в основу экспериментального исследования сооружения полага­ ют схематизацию в виде конечного числа сосредоточенных масс, соединенных упругими связями. При сопоставлении такой схематизации с расчетной (с рас­ пределенной массой) имеем

Сэ ССр.

4. При оценке сейсмостойкости плотин нередко поле смещений бортов каньона исследуют экспериментально на модели, а напряженное состояние пло­ тины, вызванное этим полем, определяют путем расчета. В этом случае экспе­ римент и расчет взаимно дополняют друг Друга, т. е.

C9n C P = 0 , C4JCP = Cj.

3. ФИЗИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ И ОБЛАСТЬ ЕГО ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ

Физическое подобие является наиболее разработанным и широко приме­ няемым видом физического моделирования.

Физически подобными называют геометрически подобные тела «н» и «м» (натура и модель), в которых в сходственные моменты времени имеет место подобие полей физических величин: плотности, температуры, перемещений,

15

напряжений и т. д. Математической основой физического подобия служит тео­ рия подобия [48, 56], построенная на преобразованиях подобия (гомотетии) [57].

/;" = rn.fi = const, (3.1)

где / , н, f i M— находящиеся в соответствии величины „н“ и „ м rn.fi— масштаб или константа подобия >.

Суть физического подобия состоит в следующем. Если процесс в натуре определяется п величинами fiн, то в модели должен быть реализован процесс той же физической природы и определяемый п величинами / . м, связанными с /■н преобразованиями (3.1). При этом не все масштабы rn.fi могут иметь произвольные числовые значения, т. е. подобие между «н» и «м» существует, если величины масштабов выбраны в соответствии с условиями (индикатора­ ми) подобия.

Условия подобия можно определить методом анализа размерностей и ме­ тодом анализа уравнений. Учитывая, что непосредственный интерес представ­ ляет количественная оценка исследуемых величин, ниже применяется только анализ уравнений.

Метод установления условий подобия анализом уравнений требует нали­ чия конкретной схематизации натурного сооружения Снэ и основан на тож­

что равноценно тождественности их математических описаний. Способ полу­ чения условий подобия заключается в записи замкнутой системы уравнений для /г", замены переменных по формулам (3.1) и выяснения соотношений меж­ ду масштабами тц, при которых уравнения остаются теми же, но записан­ ными для / iM. Иными словами, находятся условия на rn.fi, при которых си­ стема уравнений, начальных и граничных условий принятой схематизации на­ туры, инвариантна к преобразованиям подобия (3.1).

Испытания физически подобных моделей бетонных плотин при воздейст­ виях, имитирующих сейсмические, широко проводятся и в нашей стране [62—68] и за рубежом [69, 141—149]. При этом нередки случаи, когда к физи­ чески подобным относят физически «похожие» качественные модели. С целью выделения и анализа количественных моделей ниже рассмотрены условия по­ добия некоторых основных схематизаций бетонных плотин.

Начнем с наипростейших схематизаций — водохранилище опорожнено, основание — абсолютно жесткое. Систему уравнений, описывающих напряжен­ но-деформированное состояние, запишем в виде:

„н I рн __ „н'/.н

где Si — поверхность плотины, свободная от напряжений (верх и стороны ниж­ него и верхнего бьефов), S2 —поверхность контакта с основанием, f — уравне­ ние состояния, остальные обозначения совпадают с (2.5, 2.6), начальные ус­ ловия приняты нулевыми.1

1 При разработке основ теории подобия масштаб подобия обозначался

нию, не отражают смысла преобразований подобия. В современной теории мо­ делирования масштаб является оператором [58, гл. П], поэтому в настоящей работе для него принят символ т у (нем. — majistab).

16